Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: А×Х = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А^–1 слева. Получим А^–1×(А×Х) = А^–1×В. Преобразуем данной выражение:

(А^–1×А)×Х = А^–1×В;

E×Х = А^–1×В;

Х = А^–1×В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А^–1×В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу
А^–1 любым способом. Имеем А^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X = = × = = . Значит x₁ = 1, x₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.

Метод Гаусса

Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия.

Определение 6.7. Уравнение вида 0×x₁ + 0×x₂ + ... + 0×x_n = 0 называется нулевым.

Решением такого уравнения является любой вектор.

Определение 6.8. Уравнение вида 0×x₁ + 0×x₂ + ... + 0×x_n = b , где b ≠ 0, называется несовместным (или противоречивым).

У несовместного уравнения решений нет.

Определение 6.9. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие ее преобразования:

1. умножение любого уравнения на число, не равное нулю;

2. прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на произвольное число;

3. вычеркивание нулевого уравнения.

Замечание 6.1. С помощью преобразований 1 и 2 уравнения системы можно поменять местами.

Теорема 6.2. Цепочка элементарных преобразований переводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.