Методы решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть m = n и система имеет вид:

В этом случае основная матрица системы – квадратная матрица порядка n.

Теорема 6.1 (Крамера[11]). Пусть в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю. Тогда решение этой системы находят по формулам:

x₁ = , x₂ = , …, x_n = , (3)

где матрица A_i получена из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример 6.1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера. Дана система

Решение. Данной системе соответствует основная матрица А = , столбец свободных членов В = и столбец неизвестных Х = . Проверим, можно ли решать данную систему по формулам Крамера. В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Найдем определитель основной матрицы этой системы: |А| = = 1. Этот определитель не равен нулю, поэтому систему можно решать по формулам Крамера. Вычислим определители матриц A₁, A₂, A₃:

|A₁| = = 1, |A₂| = = 1, |A₃| = = 1.

По формулам (3) находим неизвестные:

x₁ = = = 1, x₂ = = = 1, x₃ = = = 1.

Ответ: (1; 1, 1).