Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий

Рассмотренный выше аналитический (или классический) способ учета погрешностей действий, предполагающий точное оценивание погрешностей, основанное либо на приведенных в предыдущем параграфе правилах подсчета погрешностей арифметических действий, либо на параллельной работе с верхними и нижними границами исходных данных, имеет два существенных недостатка. Во-первых, этот способ чрезвычайно громоздок и не может быть рекомендован при массовых вычислениях. Во-вторых, он учитывает крайние, наихудшие случаи взаимодействия погрешностей, которые допустимы, но маловероятны. Ясно, что, например, при суммировании нескольких приближенных чисел (полученных в результате измерений, округлений или каким-либо другим путем) среди них почти наверное будут слагаемые как с избытком, так и с недостатком, т.е. произойдет частичная компенсация погрешностей. При больших количествах однотипных вычислений вступают в силу уже вероятностные или статистические законы формирования погрешностей результатов действий. Например, методами теории вероятностей показывается, что математическое ожидание абсолютной погрешности суммы n слагаемых с одинаковым уровнем абсолютных погрешностей, при достаточно большом n, пропорционально . В частности, если n > 10 и все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то для подсчета абсолютной погрешности суммы S применяют правило Чеботарева

(4)

Различие в результатах классического и статистического подходов к оцениванию погрешности суммы рассмотрим на примере оценки погрешности среднего арифметического нескольких приближенных чисел.

Пример 4. Погрешность среднего арифметического.

Пусть — среднее арифметическое n (n > 10) приближенных чисел (например, результатов измерений), имеющих одинаковый уровень абсолютных погрешностей . Тогда классическая оценка абсолютной погрешности величины x есть

,

т.е. такая же, как и у исходных данных. В то же время по формуле (4) имеем

.

Как видим, применение правила Чеботарева приводит к естественному выводу о том, что арифметическое усреднение результатов измерений или наблюдений увеличивает точность, чего нельзя сказать на основе классической теории погрешностей.

Прямое применение вероятностно-статистических оценок погрешностей также является достаточно сложным делом и вряд ли может быть рекомендовано при рядовых массовых вычислениях. Однако именно такие оценки подкрепляют практические правила работы с приближенными числами, составляющие основу так называемого технического подхода. Этот подход связывают с именем известного русского кораблестроителя, математика и механика академика А. Н. Крылова. Согласно принципу А. Н. Крылова, приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна, и притом в среднем не более чем на одну единицу. Напомним, что значащими цифрами числа в его позиционной записи называются все его цифры, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру приближенного числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра (или половины единицы; в этом случае иногда применяется термин верная в узком смысле).

Чтобы результаты арифметических действий, совершаемых над приближенными числами, записанными в соответствии с принципом А. Н. Крылова, также соответствовали этому принципу, нужно придерживаться следующих простых правил:

1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков;

2) при умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр;

3) результаты промежуточных вычислений должны иметь один-два запасных знака (которые затем должны быть отброшены).

Таким образом, при техническом подходе к учету погрешностей приближенных вычислений предполагается, что в самой записи приближенного числа содержится информация о его точности. И хотя прямая выгода от применения приведенных правил работы с приближенными числами может быть получена лишь при ручном счете (не нужно оперировать с цифрами, не влияющими на информативную часть приближенного результата), их знание и понимание помогает правильной интерпретации компьютерных расчетов, а иногда и самой организации таковых.