Погрешность вычислений
Пусть A и а — два «близких» числа; условимся считать A — точным, а — приближенным.
Определение 1. Абсолютная и относительная погрешность.
Величина Δa = |A – а| называется абсолютной погрешностью приближенного числа а, а его относительной погрешностью. Числа Δa и δa такие, что Da³Da и , называются оценками или границами абсолютной и относительной погрешностей соответственно (к Δa и δa часто применяют также термин «предельные погрешности»).
Так как обычно истинные погрешности не известны, то там, где не может возникнуть недоразумений, будем иногда называть Δa и δa просто абсолютной и относительной погрешностями.
Определение 2. Значащие цифры.
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 1. Значащие цифры.
У чисел a = 0,03045, а = 0,03045000 значащими цифрами являются подчеркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором — 7.
Определение 3. Верная цифра.
Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 2. Верная цифра.
а = 0,03045, Δa = 0,000003; а = 0,03045000, Δa = 0,0000007; подчеркнутые цифры являются верными.
Определение 4. Все верные цифры.
Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.
Пример 3. Все верные цифры.
При a = 0,03045, Δa = 0,000003 число a записано со всеми верными цифрами.
Поставим вопрос о грубом оценивании погрешности результата вычисления значения дифференцируемой функции u = f(x1, x2, …, xn) приближенных аргументов x1, x2, …, xn, если известны границы их абсолютных погрешностей , , …, , соответственно. В этом случае точные значения аргументов , , …, лежат соответственно на отрезках , , …, , а точная абсолютная погрешность результата u = f(x1, x2, …, xn) есть
—
модуль полного приращения функции. Главной, т.е. линейной частью этого приращения является, как известно, полный дифференциал du. Таким образом, имеем:
,
т.е. за границу абсолютной погрешности результата приближенно может быть принята величина
. (1)
Отсюда легко получается формула приближенной оценки относительной погрешности значения u:
. (2)
Как частные случаи формул (1), (2) (точных для функций, линейных относительно xi или ln xi соответственно) можно получить известные правила оценивания погрешностей результатов арифметических действий.
Действительно, пусть u = ± x1 ± x2 ± … ± xn. Тогда и , т.е. при сложении и вычитании приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.
Пусть теперь u = x1 × x2 × … × xn, где можно считать все сомножители положительными. Так как ln u = ln x1 + ln x2 + … + ln xn и , то, согласно (2),
(3)
Если же , где x1, x2 > 0, то ln u = ln x1 – ln x2, и, значит,
Последнее вместе с (3) означает известный результат о сложении предельных относительных погрешностей при умножении и делении приближенных чисел.
Возвращаясь к сложению, рассмотрим относительную погрешность суммы n положительных приближенных чисел x1, x2, …, xn, имеющих границы относительных погрешностей , , …, соответственно:
,
где . Полученное неравенство говорит о том, что относительная погрешность суммы n положительных приближенных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых.
С вычитанием приближенных чисел дело обстоит хуже: оценка
относительной погрешности разности x1 – x2 двух приближенных положительных чисел указывает на возможность сильного возрастания погрешности при x1 – x2 ® 0. В этом случае говорят о потере точности при вычитании близких чисел.
Часто возникает обратная задача теории погрешностей: какой точности данные нужно подать на вход, чтобы на выходе получить результат заданной точности? Применительно к поставленной выше прямой задаче оценивания погрешности результата вычисления значения функции при заданных оценках погрешностей аргументов обратная задача заключается в оценивании величин Δxi (или dxi) по известной величине Δu. Для случая дифференцируемой функции одной переменной грубое решение обратной задачи тривиально: если y = f(x), то
Δy » |dy| = |f'(x)|Δx, откуда . Для функции большего числа переменных обратная задача, вообще говоря, некорректна. Нужны дополнительные условия. Например, применяют принцип равных влияний, состоящий в предположении, что частные дифференциалы в (1) одинаково влияют на погрешность значения функции; тогда
, откуда
В качестве другого довольно естественного допущения можно принять равенство относительных погрешностей всех аргументов, т.е. считать при всех i = 1, 2, ..., n. Тогда и, значит, . Из последнего равенства получаем величину (характеризующую относительный уровень точности задания аргументов), на основе которой за границы абсолютных погрешностей аргументов принимаем . Имеются и другие, более сложные подходы к решению обратной задачи.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 109;