Обратное интерполирование

Экстраполирование и обратное интерполирование

Пусть функция у = f(x) задана значениями в n+1 равноотстоящем узле х_i = х₀ + ih значениями у_i =f(х_i) (i = 0, 1, …, n).

Экстраполированием называется вычисление значений функции для значений аргумента, выходящих за пределы того интервала, для которого дана таблица, т.е. для значений х<х₀ и х>х_n.

При отыскании значений функции для х<х₀ используется первый интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае t = < 0 и говорят, что первая интерполяционная формула Ньютона применяется для экстраполирования назад.

При отыскании значений функции для х>х_n используется второй интерполяционный многочлен Ньютона.

В этом случае t = > 0 и говорят, что вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для экстраполирования вперед.

Замечание. При экстраполировании получаются бóльшие погрешности, чем при интерполировании. Поэтому пределы его применения ограничены.

Пример. Функция y = sinx задана таблицей. Найдем значения синуса для углов х = 0,2 и х = 1

х = 0,2.

В качестве выберем х₀ = 0,3 Þ t = = = -1.

Запишем первый интерполяционный многочлен третьего порядка:

у = у₀ +tDу₀ + D² у₀ + D³ у₀ ,

Подставив численные значения, получим:

у = 0,2955 – 0,0939 + (-0,0039) + (-0,009) Þ у = 0,1986.

х = 1,0.

В качестве х_n выберем х_n = 0,8 Þ t = = = -2.

Запишем второй интерполяционный многочлен третьего порядка:

у = у_n +tDу_{n - 1} + D² у_n - ₂ + D³ у_{n - 3} Þ

у = 0,7174 + 2*0,0732 + (-0,0066) + (-0,0009) Þ у = 0,8404 (точное решение 0,8414).

Обратное интерполирование

Пусть функция у = f(x) задана таблицей:

Если функция f(x) является строго монотонной (возрастающей или убывающей), то для нее существует обратная (возрастающая или убывающая) монотонная функция х = j(у).

Обратное интерполирование состоит в нахождении по промежуточному, не содержащемуся в таблице, значению функции соответствующего значения аргумента.

При обратном интерполировании находятся значения обратной функции х = j(у).

Так как табличные разности Dу данной функции не сохраняют постоянного значения (за исключением случая линейной зависимости), то для интерполирования обратной функции х = j(у) удобно применять интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула в этом случае будет иметь вид:

(1)

Очевидно, абсолютная погрешность обратного интерполирования может быть оценена по формуле остаточного члена интерполирования:

(2)

где - значение производной (п+1) порядка для обратной функции. Абсолютная погрешность интерполирования

где .

Пример. Функция задана таблицей. По заданному значению функции у=1,38 требуется найти соответствующее значение аргумента х.

Поменяв местами х и у, получим таблицу для обратной функции

Составим многочлен Лагранжа второго порядка:

L₂(x) = у₀ + у₁ + у₂

Подставив в выражение многочлена значение х_i и y_i из таблицы, получим, что L₂(1,38) = 2,626. Итак, φ(1,38)≈2,626.