Погрешность решения. Исправление значений переменных.

Если при подстановке найденных значений в систему получаются значительные невязки d₁, d₂, d₃, то эти значения переменных подлежат уточнению.

Пусть приближенные значения переменных, найденных при решении системы (1).

Подставив их в систему, запишем:

Положим:

где e₁, e₂, e₃ – погрешности решений.

Подставив выражения для х₁, х₂, х₃ в систему (1), получим:

Заменив суммы первых четырех членов по формулам (8), придем к системе уравнений:

Неизвестными будут погрешности e₁, e₂, e_3. Система (10) отличается от системы (1) лишь столбцом свободных членов. Ее решение может быть найдено по схеме единственного деления.

Пример. Решим методом Гаусса систему уравнений:

2,7х₁ + 1,2х₂ + 3,4х₃ – 7,6 = 0,

1,7х₁ - 3,2х₂ +4,6х₃ – 11,2 = 0,

1,1х₁ + 4,1х₂ + 0,8х₃ + 1,1 = 0;

проведем проверку найденного решения и уточним значения переменных.

1. Приводим систему к треугольному виду.

По формулам (7) находим значения неизвестных х₁, х₂, х₃

Для определения невязок найденные значения неизвестных подставляем в исходную систему уравнений.

2,7 * 1,98 - 1,2 *0,99 + 3,4 * 1,01 – 7,6 = - 0,008,

1,7 * 1,98 - 3,2 *0,99 +4,6 * 1,01 – 11,2 = -0,020,

1,1 * 1,98 + 4,1 *0,99 + 0,8 * 1,01 + 1,1 = 0,270;

получены невязки:

d₁ = -0,008, d₂ = -0,020, d₃ = 0,270.

Для вычисления поправок e₁, e₂, e₃ решаем систему уравнений (12), в которой столбец свободных членов заменили столбцом невязок.

Вычисление неизвестных e₁, e₂, e₃ проводим по тем же правилам, что и при решении исходной системы уравнений.

Определяем значения:

e₁ = 0,02; e₂ = -0, 01; e₃ = -0,01.

Исправленные значения неизвестных будут соответственно равны:

Итак, получили х₁ = 2,00; х₃ = -1,00; х₃ = 1,00.

При заключительной проверке путем подстановки исправленных значений переменных получим верные числовые равенства.