Формула Симпсона (формула парабол)

12 3 4

Для вычисления интеграла разобьем отрезок интегрирования на два равных отрезка:

[х₀ , х₁] и [х₁ , х₂] (х₀ = а, х₂ = b)

и заменим подынтегральную функцию по формуле квадратичного интерполирования

(12)

где t = .

Тогда:

Перейдем к новой переменной интегрирования, учитывая, что

х = х₀ +ht, dx= hdt,

при х=х₀t=0

при х=х₂ t=2

или

(13)

Формула (13) называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Ее геометрический смысл состоит в следующем: на отрезке [х₀, х₂] кривая у = f(x) заменяется квадратной параболой — графиком интерполяционного многочлена. При вычислении по формуле (13) значение интеграла будет численно равно значению площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой параболы, проходящей через точки: [х₀, f(х₀)], [х₁, f(х₁)], [х₂, f (х₂)]

На рисунке сплошной линией изображен график функции f(x) пунктирной — график многочлена Р₂(х).

Для получения более точного результата достаточно разбить отрезок интегрирования [а; b] на четное число (2n) частей и применить формулу (13) для каждой пары смежных отрезков разбиения:

(14)

Суммируя равенства (14), получим обобщенную формулу Симпсона (парабол):

(15)

Пример. Вычислим приближенное значение интеграла по формуле Симпсона. Разбив отрезок интегрирования на десять равных частей и используя данные, содержащиеся в таблице, получим:

Итак, .

Выше показали, что .

Абсолютная погрешность найденного значения не превосходит 0,000005.

Сравнение приближенных значений интеграла , вычисленных по разным формулам, показывает, что наиболее точное значение было получено по обобщенной формуле Симпсона и наименее точное — по формуле прямоугольников.

Погрешность r обобщенной формулы Симпсона можно вычислить по формуле

(16)

где а < ξ< b.

Для абсолютной погрешности обобщенной формулы Симпсона можно получить следующую оценку:

где (17)

12 3 4

Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 74;

Поиск по сайту