Примеры определения перемещений при изгибе графоаналитическим методом и по универсальным уравнениям

Пример. 2. Определить прогиб свободного конца консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на конце (рис. VII.7, а).

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u₀ = 0 и J₀ = 0. Строим эпюру изгибающих моментов. Центр тяжести эпюры на расстоянии 2l/3 от правого конца. По формуле (VII.13) определяем EIJ_в как площадь эпюры М между началом координат и сечением В:

рис. 7.7.

Знак минус берем потому, что эпюра М отрицательна, откуда , (по часовой стрелке).

По формуле (VII.16) прогиб определяем как статический момент всей площади эпюры относительно сечения В:

откуда (в направлении отрицательной оси у, т.е. вниз). Знак минус при вычислении S'_в взят потому, что эпюра М отрицательна.

Пример VII.3. Определить прогиб свободного конца консольной балки, показанной на рис. VII.7, б.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u₀ = 0 и J₀ = 0.

Эпюру изгибающих моментов «расслаиваем», т. е. представляем ее как сумму эпюр от действия каждой силы (два треугольника).

По формуле (VII.13) определим угол поворота:

(по часовой стрелке).

По формуле (VII. 16) определим прогиб:

(вниз).

Площадь и статический момент эпюры моментов взяты со знаком минус, так как эпюра М отрицательна.

Пример V11.4. Определить прогиб под нагрузкой для балки, показанной на рис. VII.8.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат на левом конце, тогда u₀ = 0.

Строим эпюру М.

Для определения J₀ используем условие (ввиду симметрии изогнутой оси балки). По формуле (VII.13) имеем

откуда (по часовой стрелке).

Площадь А' взята со знаком плюc, потому что эпюра М положительна.

По формуле (VII.16) найдем

(вниз) (VII.23)

Знак плюс при вычислении S'_D взят потому, что эпюра М положительна. Этот пример можно решить проще, если поместить начало координат в точке K. Тогда u₀ = 0 и J₀ = 0. Перемещение точки В относительно точки K найдем по формуле (VII.16):

(вверх)

Следовательно, (вниз)

Пример VI1.5. Определить прогиб свободного конца балки, показанной на рис. VII.9, а.

Р е ш е н и е. Помещаем начало координат в заделке, тогда u₀ = 0 и J₀ = 0. Строим эпюру М и приведенную эпюру М_red, в которой ординаты М поделены на жесткость балки (рис. VII.9, б).

По формуле (VII. 17) имеем

(по часовой стрелке)

Разбивая эпюру на три простейших фигуры 1, 2, 3 получим по формуле (VII. 18)

(вниз)

Пример VII.6. Определить прогиб среднего сечения балки, показанной на рис. VII. 10, а.

Решение. Помещаем начало координат на левом конце балки, тогда u₀ = 0 Строим эпюру М и приведенную эпюру М_red, которой ординаты М поделены на жесткость балки (рис. VII. 10, б).

Для определения J₀ используем условие u_z_=1,5_l = 0 (ввиду симметрии).

По формуле (VII.17) имеем u_c = J₀ +A_red или

Откуда (по часовой стрелке). Определяем прогиб при z = 1,5 l по формуле (VII.18)

(вниз)

Этот пример можно решить проще, если, используя симметрию, поместить начало координат в точке К. Тогда перемещение точки В относительно точки К по формуле (VII. 18) будет равно (при u₀ = J₀ = 0)

(вверх)

Следовательно, (вниз)

Пример VII.7. Определить по универсальным уравнениям максимальные прогиб и угол поворота для консоли при действии равномерно распределенной нагрузки (рис. VII.11).

Решение. Начало координат выгоднее поместить на левом конце балки, так как при этом u₀ = 0 и J₀ = 0

Следовательно, по универсаль- ным уравнениям (VII.21) и (VII.22) сразу можно вычислить u_max и J_max, которые, как видно из чертежа, будут иметь место в сечении, где z = l.

Чтобы пользоваться универсальными уравнениями, необходимо, как уже было сказано, брать силы и моменты, находящиеся между данным сечением и началом координат. Для этого предварительно определим реактивный момент и реактивную силу в заделке.

Реактивная сила R_A =ql и направлена вверх. В универсальные уравнения она войдет со знаком плюс. Реактивный момент M_A = ql² /2 направлен против часовой стрелки. Его следует учитывать со знаком минус.

Расстояние от начала координат до момента, опорной реакции и до начала равномерно распределенной нагрузки равны нулю (рис.)

Определяем u при z = l, т.е. u_max :

Следовательно, (вниз)

Из универсального уравнения для углов поворота получим

Следовательно, (по часовой стрелке)

Пример VП.8. Определить u_max и u¢_max для консольной балки при действии пары М_е на свободном конце (рис. VII.12).

Р е ш е н и е. Начало координат помещаем на левом конце балки. Тогда u₀ = 0 и J₀ = 0. Опорные реакции равны R_A = 0, а М_A = М и направлен против часовой стрелки.

Значения u_max и u¢_max будут на правом конце балки при z = l. Применяя универсальные уравнения, получим:

, (вниз) (VII.26)

, (VII.27)

Пример V11.9. Определить u_max и J_max для балки, показанной на рис. VII. 13.

Р е ш е н и е. В силу симметрии реакции равны R_A = R_B = ql/2

Помещаем начало координат на левой опоре. Тогда u₀ = 0.

Для определения J₀ используем условие, что при z = l u = 0. Получим

Откуда . Очевидно, J_A = - J_B.

Заметим, что наибольшие углы поворота имеют опорные сечения. Максимальный прогиб находится посередине пролета балки:

Следовательно, (вниз). (VII.28)

Пример VII.10. Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах для балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис. VII. 14).

Р е ш е н и е. Реакции равны F/2 каждая и направлены снизу вверх.

Помещаем начало координат на левом конце, тогда u₀ = 0. Для определения J₀ используем условие, что при z = l прогиб равен нулю (u = 0)*:

откуда

Следовательно, J = J_A = J_max = - /( )

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре J_В = -J_А = .

Максимальный прогиб u_max = следовательно,

* В данном случае можно было определить J₀ также из условия, что посередине пролета касательная к упругой линии горизонтальна, т. е.

Окончательно

(вниз) (VII.29)

Пример VII.11. Определить прогибы в точках D и С и угол поворота в точке В балки, изображенной на рис. VII.15. Момент инерции сечения балки I =13 380 см⁴ = 13 380·10^-8 м⁴ (двутавр № 36); E = 2·10⁵ МПа.

Р е ш е н и е. Определяем опорные реакции:

1. ; кН.

2. кН.

Помещаем начало координат на левой опоре. Тогда u₀ = 0. Угол J₀ определяем из условия, что при z = 4 м u = 0.

По универсальному уравнению для прогибов при z = 4 м имеем

Так как распределенная нагрузка обрывается в точке D, то согласно сказанному ранее продолжаем ее до конца, но вводим компенсирующую нагрузку обратного направления на участке DВ. Последний член как раз и учитывает распределенную нагрузку, действующую снизу вверх (на чертеже указанные преобразования нагрузки не отражены).

Произведя вычисления, получаем Определяем прогибы: