Среднеквадратическое отклонение.

Определение. Числовая характеристика, показывающая насколько случайные величины независимы, называется коэффициентом корреляции. Для двух случайных величин x иh коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Определение Величина cov(x,h) = М(xh) - М(x)М(h) называется ковариацией двух случайных величин x иh.

Тогда .

Для независимых x и h r_xh = 0, так как в этом случае по свойству математического ожидания М(x h) = М(x)М(h). Обратного заключения сделать нельзя, и ниже приведён пример.

Свойства коэффициента корреляции:

1. –1£r_xh£1.

2. Если r_xh=1, то h=kx+b, где k и b — константы, k>0.

3. Если r_xh= –1, то h= kx+b, где k<0.

Задача 7. Закон совместного распределения случайных величин x и h задан таблицей

Рассчитать коэффициент корреляции r_xh.

Построим законы распределения для x и для h:

Проведём вычисления:

; ;

. Тогда cov(x,h) = М(xh) - М(x)М(h) = 0.

Следовательно, r_xh = 0. При этом ясно, что имеет место функциональная зависимость между случайными величинами x и h.

Задача 8. Закон совместного распределения случайных величин x и h задан таблицей

Рассчитать коэффициент корреляции r_xh.

Построим законы распределения для x и h:

Вычислим

М(x) = 0 ∙ 0,3 + (–1) ∙ 0,1+ (–2) ∙ 0,6 = – 1,3;

М(h) = 4 ∙ 0,5 + 5 ∙ 0,5 = 4,5;

М(xh) = (–2) ∙ 4 ∙ 0,4 + (–2) ∙ 5 ∙ 0,2 + (–1) ∙ 4 ∙0 + (–1) ∙5∙ 0,1 + 0 ∙ 4∙ 0,1 + 0 ∙ 5 ∙ 0,2 = – 5,7.

Тогда cov(x,h) = М(xh) - М(x)М(h) = – 5,7 –(– 1,3) ∙ 4,5 = 0,15.

D(x) = M(x²) – (M x)² = 0² ∙ 0,3 + (–1) ² ∙ 0,1∙+ (–2)² ∙ 0,6 – ( – 1,3) ² = 0,89;

σξ = = = 0,9

D(h) = M(h²⁾ – (Mh)² = 4² ∙ 0,5 + 5² ∙ 0,5 – 4,5² = 0,25;

σh = = = 0,5. Следовательно,

= .

Определение. Если r_xh = 0, то случайные величины x иh называются некоррелированными. Если r_xh ≠ 0, то случайные величины x иh называются коррелированными.

Величина r_xh характеризует степень зависимости случайных величин x иh, причём не любой зависимости, а только линейной, проявляющейся в том, что при возрастании одной случайной величины другая проявляет тенденцию также возрастать (при r_xh > 0) или убывать (при r_xh < 0).

Величина êr_xhê характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами x иh. В случае жесткой функциональной зависимости: h = kx+b, k≠0, имеем êr_xhê=1. При этом r_xh = 1, если k>0, т.е. при возрастании x величинаh тоже возрастает; êr_xhê = – 1, если k<0, т.е. при возрастании x величинаh убывает. При k=0 линейной зависимости между случайными величинами x иh нет и r_xh = 0.

Из независимости случайных величин x иh следует их некоррелированность, но из некоррелированности случайных величин x иh (r_xh = 0) ещё не вытекает их независимость. Равенство r_xh = 0 означает только отсутствие линейной связи между x иh, любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Выпишем и запомним ещё одно свойство дисперсии, но уже для зависимых случайных величин x иh:

D(x +h) = Dx + Dh + 2∙cov(x,h).