Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется




ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ (СЛАУ)

В этой главе будут рассмотрены линейные системы алгебраических уравнений. Эти СЛАУ появляются во многих областях прикладной математики. Например, при нахождении приближенных решений дифференциальных и интегральных уравнений, которые описывают различные процессы в физике, химии, биологии и экономике. Размерность СЛАУ, как правило, является большой и зависит от сложности решаемой проблемы. Так, в теории электрических сетей количество уравнений равно количеству ячеек сети и т.д.

В общем виде система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn записывается так:

(1)

Коэффициенты при неизвестных обозначаются через aij, где первый индекс i указывает номер уравнения, в котором находится данный коэффициент, а второй индекс j - номер неизвестного, при котором находится данный коэффициент.

Например, коэффициент a45 находится в четвертом уравнении при неизвестном x5.

Числа b1, b2, ..., bm в системе (1) называются свободнымичленами в СЛАУ (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Решением СЛАУ (1) называется любая совокупность чисел c1, c2, ..., cn, которая будучи подставленной на место неизвестных x1, x2, ..., xn в уравнения данной системы , обращает все эти уравнения в тождество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если не имеет решения.

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется

определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет несколько решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Так следующие элементарные преобразования переводят данную СЛАУ в эквивалентную:

а) перестановка двух уравнений системы;

б) умножение обеих частей уравнения системы на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.СЛАУ, в которой все свободные члены b1, b2, ..., bn равны нулю называется однородной СЛАУ.

Матрицей A СЛАУ (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы

A= . (2)

Используя понятие матрицы A СЛАУ (1) и матриц-столбцов, введенных соотношениями:

(3)

запишем систему (1) следующим образом

(4)

Из вида записи (4) следует, что первая компонента вектора вычисляется как произведение первой строки матрицы A на вектор-столбец .

Приравнивая полученное выражение первой компоненте матрицы-столбца B, получим первое уравнение системы (1)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

Второе уравнение СЛАУ (1) получается, если вторую строку матрицы A умножить на матрицу-столбец и приравнять полученное соотношение второму элементу матрицы и т.д.

Пример. Записать в матричной форме следующую СЛАУ:

ÑМатрица A для этой системы имеет вид

а матрицы-столбцы запишутся так

Тогда матричная запись исходной системы будет иметь вид

или

§2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 2100; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.029 сек.