Случай кратных собственных значений матрицы

В случае, когда собственные значения матрицы системы дифференциальных уравнений кратные, экспоненциал матрицы может быть найден точно также, как это, например, было сделано в предыдущем примере. Однако существует и другой метод отыскания экспоненциала матрицы, основанный на использовании канонических форм Жордана. При изложении этого способа ограничимся случаем, когда кратные собственные значения вещественны.

Итак, предпоолжим, что матрица А имеет собственное значение кратности . Тогда существует неособое линейное преобразование , приводящее систему (1) к виду , где , причем матрица В имеет нормальную жорданову форму:

.

Жорданова клетка , соответствующая корню кратности , имеет вид

.

Для такой клетки легко находится

. (6)

Проведя такие построения для каждой клетки Жордана, находим . Тогда .

Пример 3. Найти , если .

В соответствии с формулой (6), можем сразу записать

.

Формула Коши

Рассмотрим теперь неоднородную систему

. (7)

Формула (13) из лекции 10 для этой системы примет вид

Или

(8)

Если решение системы (7) записано в виде (8), то говорят, что оно записано в форме Коши.

Пример 4.Найдя матрицу , записать решение системы

в форме Коши.

Матрица для рассматриваемой системы уже была найдена выше и она имеет вид (5). Согласно формуле (8), можем записать