Экпоненциал матрицы и формула Коши

Вспомним, что общее решение линейной системы

(1)

имеет вид , где – фундаментальная матрица этой системы. Из теоремы 2 предыдущей лекции следует, что в случае различных собственных значений матрицы А фундаментальная матрица имеет вид

(2)

В общем случае фундаментальная матрица может быть найдена следующим образом. Подобно тому, как это делалось для уравнения первого порядка, для отыскания решения системы (1) , удовлетворяющего начальному условию , применим метод последовательных приближений:

.

По индукции легко получить

(3)

Введем в рассмотрение экспоненциал матрицы А:

(4)

Можно показать, что матричный ряд (4) сходится для любой матрицы А. По аналогии с функцией , матричная экспонента обладает свойствами:

1)

2) если , то .

Из приведенных рассуждений следует, что вектор-функции (3) на любом отрезке сходятся к вектору , являющемуся решением уравнения (1). Таким образом, матрица является для системы (1) фундаментальной матрицей и .

Отыскание экспоненциала матрицы в случае различных собственных значе- ний матрицы А.