Экпоненциал матрицы и формула Коши

Вспомним, что общее решение линейной системы

(1)

имеет вид , где – фундаментальная матрица этой системы. Из теоремы 2 предыдущей лекции следует, что в случае различных собственных значений матрицы А фундаментальная матрица имеет вид

(2)

В общем случае фундаментальная матрица может быть найдена следующим образом. Подобно тому, как это делалось для уравнения первого порядка, для отыскания решения системы (1) , удовлетворяющего начальному условию , применим метод последовательных приближений:

По индукции легко получить

(3)

Введем в рассмотрение экспоненциал матрицы А:

(4)

Можно показать, что матричный ряд (4) сходится для любой матрицы А. По аналогии с функцией , матричная экспонента обладает свойствами:

2) если , то .

Из приведенных рассуждений следует, что вектор-функции (3) на любом отрезке сходятся к вектору , являющемуся решением уравнения (1). Таким образом, матрица является для системы (1) фундаментальной матрицей и .

Отыскание экспоненциала матрицы в случае различных собственных значе- ний матрицы А.

Как отыскивать матрицу в этом случае, мы по сути дела, уже знаем. Для этого можно поступить, например, так: Найти собственные векторы матрицы А и составить из столбцов их координат матрицу . Тогда

.

Если среди различных корней характеристического уравнения имеются комплексно-сопряженные, то следует найти общее решение системы (1) так, как это было описано выше, а потом искать из следующих соображений: i-ым столбцом матрицы будет решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , .

Проиллюстрируем изложенные методы нахождения экспоненциала матрицы на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть матрица А такая же, как в примере 2 предыдущей лекции, то есть . Из координат столбцов собственных векторов этой матрицы составим матрицу Т, приводящую матрицу А к диагональному виду: . Тогда

Пример 2 .Вернемся к системе, рассмотренной в примере 3 предыдущей лекции. Решение этой системы имеет вид

.

Найдем, сначала частное решение, удовлетворяющее условию . Оно будет иметь вид

.

Частное решение, удовлетворяющее условиям , имеет вид

.

Поэтому

. (5)

Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 79;

Поиск по сайту