Терема Пикара-Линделефа и теорема Коши

1.Некотрые сведения из теории функций и теории рядов.

Определение 1. Функция называется равномерно непрерывной по переменной на отрезке если для такое, что для выполнено .

Аналогично определяется равномерная непрерывность по .

Лемма 1. Всякая непрерывная на множестве функция равномерно непрерывна по и по .

Пусть задана последовательность функций определенных и непрерывных на .

Определение 2. Будем говорить. что последовательность равномерно сходится на к функции , если .

Лемма 2. Если последовательность непрерывных на функций равномерно на сходится к функции , то функция также непрерывна на .

Лемма 3. Если функция равномерно непрерывна в G и последовательность равномерно сходится к на , то последовательность равномерно сходится к на .

Лемма 4. Если функция равномерно непрерывна в G и равномерно на , то

для

Определение 3. Ряд называется равномерно сходящимся на , если существует такая функция , определенная на , что справедливо равенство , причем последовательность сходится к равномерно на .

Лемма 5. Если для и ряд сходится, то ряд сходится равномерно на .

Определение 4. Функция удовлетворяет условию Липшица на G по переменной , если существует такая постоянная L>0 ,что для и выполнено соотношение

.

Лемма 6. Если функция имеет непрерывную частную производную в G, то она удовлетворяет условию Липшица на G.

Доказательство. По формуле конечных приращений можем записать

Здесь , а L – верхняя граница для непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве G.

Замечание. Обратное утверждение неверно. То есть функция, удовлетворяющая в G условию Липшица, может не иметь в этой области непрерывной частной производной .