Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение.
Нахождение особых решений.
Вспомним, что для нахождения кривых, подозрительных на особые решения, для уравнения, разрешенного относительно производной , мы искали кривые , вдоль которых не ограничена частная производная . Предположим, что уравнение определяет конечное или бесконечное число соотношений
,
причем все функции дифференцируемы по . Применяя к каждому из этих соотношений приведенные выше рассуждения, приходим к требованию:
(1)
Найдем непосредственно из уравнения . Для этого продифференцируем его по :
Ясно, что условие (1) выполнено, если
(2)
Уравнение (2) необходимо рассматривать совместно с исходным дифференциальным уравнением:
(3)
Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть найдены из системы (3) исключением . Пусть – решение системы (3). Прежде чем утверждать, что найдено особое решение исходного уравнения, необходимо проверить, что:
1) – решение уравнения ,
2) – особое решение, то есть в каждой точке кривой ее касаются другие интегральные кривые того же уравнения.
Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение.
Пусть задано однопараметрическое семейство кривых . Кривая называется огибающей для этого семейства, если в каждой своей точке она касается хотя бы одной кривой семейства и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой семейства. Так, например, для семейства окружностей
огибающими будут прямые .
Очевидно, что огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения есть решение этого уравнения и притом особое.
Укажем (без доказательства) алгоритм нахождения огибающей семейства интегральных кривых дифференциального уравнения.
Для нахождения огибающей семейства интегральных кривых следует исключить параметр С из системы уравнений
(4)
и проверить, является ли полученная кривая огибающей, то есть, касаются ли ее в каждой точке кривые данного семейства.
Пример нахождения особых решений уравнения, не разрешенного относительно производной, будет приведен ниже.
Рассмотрим теперь некоторые специальные классы уравнений не разрешенных относительно производной и методы их интегрирования.
1) Уравнение может быть разрешено относительно :
(5)
Введем обозначение . Тогда
.
Получили линейное уравнение относительно переменной р. Если найдено его решение , то – общее решение уравнения (5).
Пример. Уравнение может быть разрешено относительно
Легко проверить, что через точку , принадлежащую области существования решения, проходят две различные интегральные кривые:
Попытаемся найти особое решение данного уравнения. Для этого запишем систему (3)
Проверим, что – особое решение. То, что эта функция является решением уже показано выше. Запишем условия касания интегральных кривых и в точке :
Получили верное равенство. Значит – особое решение.
Найдем теперь огибающую семейства . Для этого запишем систему (4)
Итак, – особое решение, являющееся огибающей.
2) Уравнение может быть разрешено относительно х: . В этом случае уравнение может быть решено с использованием подстановки
Пример. Найти общее решение уравнения
Итак, параметрические уравнения решения имеют вид
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 204;