Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть . Будем говорить, что матрица л‑эквивалентна (п‑эквивалентна или эквивалентна) матрице и обозначать ( или ), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.

Пусть . Говорят, что ненулевая строка этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент , что все элементы столбца , отличные от , равны нулю, . Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец вида

.

Например, в следующей матрице

строка имеет приведенный вид, так как . Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент . В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица

имеет приведённый вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида.

◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой имеет приведённый вид.

Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

(1.20)

получаем матрицу

,

у которой строка имеет приведённый вид.

Во-вторых, если строка , в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка матрицы будет приведённой. Действительно, так как , приведённая, найдётся такой столбец , что

.

но тогда и, следовательно, после проведения преобразований (1.20) столбец не меняется, т.е. . Поэтому строка , имеет приведённый вид.

Теперь ясно, что поочерёдно преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы , после конечного числа шагов мы получим матрицу приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования, то она л‑эквивалентна матрице . ►

Пример 7. Построить матрицу приведённого вида, л‑эквивалентную матрице

.

◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Среди всех матриц размера выделим множество диагональных матриц , где , у которых

Матрицу удобно записывать в так называемом блочном виде

, (1.21)

где единичная матрица порядка , а – обозначение, общее для нулевых блоков соответствующих размеров.

Предложение 1.4. Для любой ненулевой матрицы найдётся эквивалентная ей матрица вида (1.21).

◄ Из предложения 1.3 следует, что существует матрица приведённого вида, л‑эквивалентная, а поэтому и эквивалентная, матрице . Пусть – число ненулевых строк матрицы . Меняя местами, если это нужно, строки и столбцы матрицы , приведём её к виду

.

Проводя в матрице столбцовые элементарные преобразования

,

получим матрицу вида (1.21), эквивалентную матрице . ►

1.12 Отношение эквивалентности .

Пусть – непустое множество произвольной природы и – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве называется произвольное непустое подмножество в . бинарное отношение на множестве можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы и из множества находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество бесконечно), то высказывание “ ” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно ”

Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

1) для любого ,

2) если , тогда ,

3) если и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

1’) , (рефлексивность)

2’) , (симметричность)

3’) и . (транзитивность)

Введение на множестве какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактор-множеством множества по бинарному отношению и обозначается . Построение фактор-множества множества по какому-нибудь отношению эквивалентности называется факторизацией множества . Задача факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).

В алгебре матриц отношения “л‑эквивалентности”, “п‑эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве . Наиболее важным из них является последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице вида (1.21) с данным . Нетрудно посчитать, что различных видов матриц всего . Это отношение эквивалентности в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между и .

Лекция V.

План

1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

1.14 Матричные уравнения