Ньютонов закон тяготения

Законы Кеплера

Прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вок­руг Солнца по кривой, называемой эллипсом, причем Солнце на­ходится в фокусе эллипса. Эллипс — это не совсем овал, это осо­бым образом точно определяемая кривая. Получить такую кри­вую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это— геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это — окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).

Фиг.7.1.Эллипс.

Другое наблюдение Кеплера состояло в том, что планеты движутся не с постоянной скоростью: поблизости от Солнца— быстрее, а удаляясь — медленнее. Более точно: пусть планета наблюдается в два последовательных момента времени, скажем на протяжении недели, и к каждому положению планеты проведен радиус-вектор. Дуга орбиты, пройденная планетой за неделю, и два радиус-вектора ограничивают некоторую пло­щадь, заштрихованную на фиг. 7. 2.

Фиг. 7.2. Кеплеров закон площадей.

Если такие же наблюдения в течение недели проделать в другое время, когда планета движет­ся по дальнему участку орбиты (т. е. медленнее), то построен­ная таким же способом фигура окажется по площади равной прежней. Итак, в соответствии со вторым законом орбитальная скорость любой планеты такова, что радиус «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

Третий закон был открыт Кеплером гораздо позже; он дру­гого рода, нежели первые два: он уже касается не одной планеты, а связывает между собой разные планеты. Закон утверждает, что если сравнить между собой период обращения и размеры орбиты двух планет, то периоды пропорциональны полуторной степени размеров орбит. Здесь период — это время, нужное планете для того, чтобы обойти всю орбиту; размер же измеряет­ся длиной наибольшего диаметра эллиптической орбиты, ее большой оси. Считая орбиты кругами (чем они почти и являют­ся), можно сказать проще: время одного оборота по кругу про­порционально его диаметру (или радиусу) в степени ³/₂. Итак, три закона Кеплера таковы:

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор от Солнца до планеты «заметает» равные площади в равные интервалы времени.

3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональ­ны кубам больших полуосей их орбит: T²~a³.

Развитие динамики

В то время, когда Кеплер открывал эти законы, Галилей изу­чал законы движения. Он пытался выяснить, что заставляет планеты двигаться. (В те дни одна из предлагавшихся теорий утверждала: планеты движутся потому, что за ними летят неви­димые ангелы, которые взмахами своих крыльев гонят планеты вперед. Ныне эта теория, как вы вскоре увидите, несколько видоизменена! По-видимому, чтобы заставить планеты вра­щаться, невидимые ангелы обязаны витать во всевозможных направлениях и обходиться без крыльев. В остальном эти тео­рии схожи!) И Галилей открыл одно знаменательное свойство движения, достаточное, чтобы понять эти законы. Это — прин­цип инерции: если при движении тела его ничто не касается, ничто не возмущает, то оно может лететь вечно с постоянной скоростью и по прямой. (А почему это так? Мы этого не знаем, но так уж оно повелось.)

Ньютон затем видоизменил эту мысль, говоря, что единст­венный способ изменить движение тела — это применить силу. Если тело разгоняется, значит сила была приложена в направ­лении движения. Если тело повернуло в сторону, то сила была приложена сбоку. Если, например, привязать камень к бечевке и вертеть им по кругу, то, чтобы удержать его на окружности, нужна сила. Мы должны все время натягивать бечевку. Закон состоит в следующем: ускорение, производимое силой, обратно пропорционально массе. Или иначе: сила пропорциональна массе и ускорению. Чем массивнее тело, тем большая сила необходима, чтобы создать нужное ускорение. (Массу можно измерить, при­вязав к веревке другой камень и вертя им по тому же кругу с той же скоростью. Так можно обнаружить, что массивным те­лам нужна большая сила.) Из этих рассуждений последовала блестящая мысль: чтобы удержать планету на ее орбите, ника­кой касательной силы не нужно (ангелам нет нужды летать по касательной), потому что планета и так будет лететь в нужном направлении. Если бы ничего ей не мешало, она бы удалилась по прямой линии. Но истинное движение уклоняется от этой прямой и отклоняется как раз поперек движения, а не по дви­жению. Иными словами, благодаря принципу инерции сила, потребная для управления движением планет вокруг Солнца, это не сила, вращающая их вокруг Солнца, а сила, направленная к Солнцу (ну, а раз сила направлена к Солнцу, то, бесспорно, это и есть тот самый ангел!).

Ньютонов закон тяготения

Лучше других поняв природу движения, Ньютон прикинул, что именно Солнце может явиться источником, штаб-квартирой сил, управляющих движением планет. Он убедился (вскоре, быть может, убедимся в этом и мы), что «заметание» равных площадей в равные интервалы времени есть верный знак того, что все от­клонения от прямой в точности радиальны, или что закон пло­щадей есть прямое следствие того, что все силы направлены точ­но к Солнцу.

Кроме того, из анализа третьего закона Кеплера можно вы­вести, что чем дальше от Солнца планета, тем слабее сила. Из сравнения двух планет на разных расстояниях следует, что си­лы обратно пропорциональны квадратам относительных рас­стояний. Сочетая оба закона, Ньютон пришел к заключению, что должна существовать сила, обратная квадрату расстояния и направленная по прямой между Солнцем и планетой.

Будучи человеком, склонным к обобщениям, Ньютон, ко­нечно, предположил, что эта связь применима не только к Солнцу, удерживающему планеты, но что она носит более общий характер. Уже было известно, к примеру, что вокруг Юпитера обращаются луны, подобно тому как Луна ходит вокруг Земли, и Ньютону казалось естественным, что и планеты силой держат свои луны возле себя. Тогда он уже знал о силе, удерживающей нас на Земле, и предположил, что эта сила всеобщая и что все притягивается ко всему.

Тогда он спросил себя: притягивает ли Земля людей так же, как Луну («так же» значит обратно пропорционально квадрату расстояния). Если тело у поверхности Земли падает в первую секунду (из состояния покоя) на 4,9 м, то на сколько падает Луна? Можно возразить, что Луна вообще не падает. Но если бы на Луну не действовала сила, она бы унеслась по прямой линии, а на самом деле она обращается по круговой орбите; следовательно, она падает с того места, где она должна была бы быть, если бы сила на нее не действовала. Зная радиус орбиты Луны (около 384 000 км) и время ее оборота вокруг Земли (около 29 дней), можно подсчитать, сколько она проходит за 1 сек и затем на сколько за это время она падает. Оказывается, что это расстояние примерно равно 1,36 мм. Это хорошо укла­дывается в закон обратных квадратов, потому что радиус Зем­ли 6370 км, и если на этом расстоянии тела, падая, проходят в первую секунду 4,9 м, то на расстоянии в 384 тыс. км, т. е. в 60 раз дальше от центра Земли, они должны падать на 1/3600 от 4,9 м, или как раз на 1,36 мм. Желая подтвердить свою теорию тяготения подобными расчетами, Ньютон их аккуратно проделал и... получил сильнейшее несовпадение цифр. Он счел, что теория противоречит фактам, и не опубликовал ее. Шестью годами позже новые измерения радиуса Земли показали, что принятое в ту пору астрономами расстояние до Луны было не­верным. Услышав об этом, Ньютон провел новый расчет с ис­правленными цифрами и получил уже превосходное совпадение.

Мысль, что Луна «падает», несколько смущает; почему же она тогда не приближается? Эта мысль настолько интересна, что заслуживает дальнейшего пояснения: Луна «падает» в том смысле, что отклоняется от прямой линии, по которой она бы двигалась, не будь больше никаких сил.

Рассмотрим другой, уже чисто земной пример. Тело, выпущенное из рук у земной поверхности, упадет в первую секунду

на 4,9 м. Тело, брошенное горизонтально, также падает на 4,9 м.

На фиг. 7.3 показан прибор, демонстрирующий это явле­ние.

Фиг. 7.3. Прибор для демон­страции независимости верти­кальных и горизонтальных дви­жений.

Из горизонтального желоба выскакивает и летит вперед шарик. С той же высоты вертикально падает вниз другой шарик (имеется электрическая схема, выпускающая второй шар как раз в тот момент, когда первый соскальзывает с желоба). Они сталкиваются в воздухе, т. е. это значит, что они за одинаковое время снижаются одинаково. Пуля, выпущенная горизонталь­но, может пройти за 1 сек даже полкилометра, а вниз за это время она упадет на 4,9 м. Что случится, если пуля будет вылетать из ствола все быстрее? Не забудьте, что поверхность Земли кри­вая. Пуля может вылететь с такой скоростью, что, упав на 4,9 м, она все равно останется по отношению к Земле на первоначаль­ной высоте. Может ли такое быть? Да; хотя она падает, но и Земля искривляется, вот и получается падение «вокруг» Земли. Надо только узнать, на каком расстоянии поверхность Земли ока­жется на 4,9 м ниже горизонта. На фиг. 7.4 изображена Земля с ее радиусом (6370 км) и касательный прямой путь пули (в отсутствие сил).

Фиг. 7.4. Ускорение к центру на круговом пути.

Из планиметрии x/s = (2R -s)/x » 2R/x, где R — радиус Земли (6370 км); х — расстояние, «пройденное горизонтально» за 1 сек; s — длина пути «паде­ния» за 1 сек (4,9 м).

Остается вспомнить одну из занятных геометри­ческих теорем о том, что длина полухорды, перпендикулярной диаметру, равна среднему геометрическому между длинами от­резков диаметра. Значит, расстояние, пройденное пулей, есть среднее пропорциональное между 4,9 м падения и 12 740 км диаметра Земли, т. е.

Ö(0,0,049•12740)»7,9 км.

Итак, если пуля движется с быстротой 7,9 км/сек, она будет по-прежнему падать каждую секунду на 4,9 м, но никогда не приб­лизится к поверхности, уходящей от нее вследствие своей кри­визны. Так было и с космонавтом Гагариным, который держался на одной высоте, делая примерно 8 км в секунду, т. е. 40 000 км за оборот (на самом деле чуть побольше, так как и летел он повыше).

Любое открытие нового закона полезно лишь тогда, когда из него можно извлечь больше того, что в него было вложено. Ньютон применил второй и третий законы Кеплера для того, чтобы вывести закон тяготения. Что же он предсказал? Первым предсказанием был его анализ движения Луны: движение это увязывалось с падением тел на Земле. Вторым был ответ на вопрос, являются ли орбиты эллипсами. Можно точно рассчи­тать движение, можно доказать и то, что это эллипс; стало быть, никаких добавочных фактов для доказательства первого закона Кеплера не нужно. Так Ньютон сделал свое первое мощ­ное предсказание.

Закон тяготения объяснил многие явления, прежде непо­нятные. Например, притяжение Луны вызывает на Земле приливы — явление дотоле таинственное. Люди и раньше догадывались, что Луна притягивает воду под собой и получается прилив, но они не были так умны, как Ньютон, и думали, что должен быть только один прилив в сутки. Считалось, что Луна притягивает воду, вызывая прилив, но так как Земля вращается, то в каждом месте вода должна раз в сутки подняться и опус­титься. А на самом деле прилив бывает каждые 12 часов. Была и другая школа передовой мысли; по ее мнению, прилив должен быть и на противоположной стороне Земли, потому что Луна всегда отрывает сушу от воды! Обе эти теории неверны. Настоя­щее объяснение примерно таково: притяжение Луной суши и воды «уравновешено» в центре. Но притяжение Луной тех масс воды, которые находятся на «лунной» стороне Земли, силь­нее, чем среднее притяжение всей Земли, а притяжение масс воды на обратной стороне Земли слабее среднего. Кроме того, вода в отличие от суши может течь. Истинная причина прили­вов и определяется этими двумя факторами.

Что мы понимаем под словом «уравновешено»? Что именно уравновешивается? А вот что. Если Луна притягивает к себе всю Землю, то почему Земля не падает «вверх» на Луну? По той же причине, почему и Луна не падает на Землю: Земля вращается вокруг точки, которая находится внутри Земли (но не в ее цент­ре). Не Луна вращается вокруг Земли, а обе они вращаются вокруг общего центра и обе падают на него, как показано на фиг. 7.5.

Фиг. 7.5. Система Земля—Луна с приливами.

Это движение вокруг общего центра и уравновешивает падение каждого из двух небесных тел. Так что и Земля тоже движется не по прямой линии, а по круговой орбите. Массы во­ды на дальней стороне отбрасываются из-за «центробежной си­лы» сильнее, чем центр Земли, который как раз уравновешен притяжением Луны. Притяжение Луны на дальней стороне слабее и «центробежная сила» больше. В итоге равновесие воды нарушается: она удаляется от центра Земли. На ближней сто­роне Луна притягивает сильнее, но из-за меньшей величины ра­диус-вектора оказывается меньше и «центробежная сила», рав­новесие нарушается в обратную сторону, но по-прежнему от цен­тра Земли. В итоге появляются два приливных «горба».

$ 5. Всемирное тяготение

Что же еще можно понять, зная о существовании тяготения? Всем известно, что Земля круглая. А почему? Ну, это понятно: конечно, благодаря тяготению. Земля круглая просто потому, что между всеми телами существует притяжение, и все, из чего возникла Земля, тоже взаимно притягивалось до тех пор, пока было куда притягиваться! Точнее говоря, Земля не совсем шар; она ведь вращается, и центробежная сила на экваторе проти­водействует тяготению. Выходит, что Земля должна быть эл­липсоидом, и можно даже получить правильную его форму. Итак, из закона тяготения следует, что и Солнце, и Луна, и Зем­ля должны быть (приблизительно) шарами.

Что же еще следует из закона тяготения? Наблюдая за спутниками Юпитера, можно понять все законы их движения вокруг планеты. В этой связи стоит рассказать об одной замин­ке, которая вышла у закона тяготения с лунами Юпитера. Эти спутники очень подробно изучались Рёмером, и вот он за­метил, что временами они нарушают расписание: то опаздыва­ют, то приходят в назначенное место раньше времени (распи­сание можно составить, понаблюдав за ними достаточно долго и подсчитав по многим оборотам средний период обращения). Более того, он заметил, что опоздания случаются, когда Юпи­тер удален от Земли, а когда мы от Юпитера близко, то движение лун опережает расписание. Такую вещь очень трудно было уложить в закон тяготения, и ему бы угрожала безвременная кон­чина, не найдись другого объяснения. Ведь если закону проти­воречит хотя бы один случай, то закон неверен. Но причина рас­хождения оказалась очень естественной и красивой: дело прос­то в том, что необходимо какое-то время, чтобы увидеть луну на нужном месте, ведь свет от нее до нас доходит не мгновенно. Время это небольшое, когда Юпитер находится близко к Зем­ле, но оно затягивается, когда Юпитер удалится от нее. Вот почему кажется, что луны в среднем торопятся или отстают в за­висимости от того, близко ли или далеко они находятся от Зем­ли. Это явление доказало, что свет распространяется не мгно­венно, и снабдило нас первой оценкой его скорости (было это в 1676 г.).

Если все планеты притягиваются друг к другу, то сила, уп­равляющая, скажем, обращением Юпитера вокруг Солнца, это не совсем сила притяжения к Солнцу; ведь есть еще и притяже­ние, например, Сатурна. Оно невелико (Солнце куда больше Сатурна), но оно есть, и потому орбита Юпитера не может быть точным эллипсом; она чуть колеблется относительно эллипти­ческой траектории, так что движение несколько усложняется. Были предприняты попытки проанализировать движение Юпи­тера, Сатурна и Урана на основе закона тяготения. Чтобы узнать, удастся ли мелкие отклонения и неправильности в дви­жении планет полностью объяснить только на основе одного этого закона, рассчитали влияние каждой из них на остальные. Для Юпитера и Сатурна все сошло как следует, но Уран — что за чудеса! —повел себя очень странно. Он двигался не по точ­ному эллипсу, чего, впрочем, и следовало ожидать из-за влияния притяжения Юпитера и Сатурна. Но и с учетом их притяжения движение Урана все равно было неправильным; таким образом, законы тяготения оказались в опасности (возможность эту нельзя было исключить). Двое ученых, Адаме и Леверрье в Англии и Франции, независимо задумались об иной возможности: нет ли там еще одной планеты, тусклой и невидимой, пока еще не от­крытой. Эта планета, назовем ее N, могла притягивать Уран. Они рассчитали, где эта планета должна находиться, чтобы

причинить наблюдаемые возмущения пути Урана. В соответст­вующие обсерватории они разослали письма, в которых говори­лось: «Господа, направьте свои телескопы в такое-то место — и вы увидите там новую планету». Обратят ли на вас внимание или нет, часто зависит от того, с кем вы работаете. На Леверрье об­ратили внимание, послушались его и обнаружили планету N! Тогда и другая обсерватория поспешила начать наблюдения — и дело увенчалось успехом.

Это открытие показывает, что в солнечной системе законы Ньютона абсолютно верны. Но верны ли они на расстояниях, больших, чем относительно малые расстояния до планет? Во-первых, можно поставить вопрос: притягивают ли звезды друг друга так же, как планеты? Положительные доказательства этого мы находим в двойных звездах. На фиг. 7.6 показана двой­ная звезда — две близкие звезды (третья звезда нужна, чтобы убедиться, что фотография не перевернута); вторая фотография сделана через несколько лет.

Фиг. 7.6. Система двойной звезды.

Сравнивая с «фиксированной» звез­дой, мы видим, что ось пары повернулась, т. е. звезды ходят одна вокруг другой. Вращаются ли они в согласии с законами Ньютона? Тщательные замеры относительной позиции двойной звезды Сириус даны на фиг. 7.7.

Фиг. 7.7. Орбита Сириуса В по отношению к Сириусу А.

Получается превосходный эллипс (измерения начаты в 1862 г. и доведены до 1904 г.; с тех пор был сделан еще один оборот). Все сходится с законами Ньютона, кроме того, что Сириус А получается не в фокусе. В чем же дело? А в том, что плоскость эллипса не совпадает с «плоскостью неба». Мы видим Сириус не под прямым углом к плоскости его орбиты, а если на эллипс посмотреть сбоку, то он не перестанет быть эллипсом, но фокус мо­жет сместиться. Так что и двойные звезды можно анализировать в согласии с тре­бованиями закона тяготения.

Справедливость закона тяготения на больших дистанциях видна из фиг. 7.8.

Фиг. 7.8. Шаровое звездное скопление.

Нужно быть лишенным воображения, чтобы не увидеть здесь работы тяготения. Здесь показано одно из красивейших небесных зрелищ — шаровое звездное скопление. Каждая точка — это звезда. Нам кажется, будто у центра они набиты вплотную; происходит это из-за слабой чувствительности телескопа; на самом деле промежутки между звездами даже в середине очень велики, а столкновения крайне редки. Больше всего звезд в цен­тре, а по мере удаления к краю их все меньше и меньше. Ясно, что между звездами действует притяжение, т. е. что тяготение существует и на таких гигантских расстояниях (порядка 100 000 диаметров солнечной системы).

Но отправимся дальше и рассмотрим всю галактику (фиг. 7.9).

Фиг. 7.9. Галактика.

Форма ее явственно указывает на стремление ее вещества стянуться. Конечно, доказать, что здесь действует закон обрат­ных квадратов, нельзя; видно только, что и на таком протяжении есть силы, удерживающие всю галактику от развала. Вы може­те сказать: «Ладно, все это разумно, но почему же эта штука, галактика, уже не похожа на шар?» Да потому, что она вертится, что у нее есть момент количества движения (запас вращения); если она сожмет­ся, ей некуда будет его де­вать; ей остается только сплюснуться. (Кстати, вот вам хорошая задача: как образу­ются рукава галактики? Чем определяется ее форма? Детально­го ответа на эти вопросы еще нет.) Ясно, что очертания галак­тики определяются тяготением, хотя сложности ее структуры пока невозможно полностью объяснить. Размеры галактик — около 50 000—100 000 световых лет (Земля находится на рас­стоянии 8¹/₃ световых минут от Солнца).

Но тяготение проявляется и на больших протяжениях. На фиг. 7.10 показаны какие-то скопления мелких пятен.

Фиг. 7.10. Облако галактик.

Это обла­ко галактик, подобное звездному скоплению. Стало быть, и галактики притягиваются между собой на таких расстояниях, иначе бы они не собрались в «облако». По-видимому, и на рас­стояниях в десятки миллионов световых лет проявляется тяго­тение; насколько ныне известно, всюду все еще действует закон обратных квадратов.

Закон тяготения ведет не только к пониманию природы туман­ностей, но и к некоторым идеям о происхождении звезд. В боль­шом облаке пыли и газа, подобном изображенному на фиг. 7.11, притяжение частиц пыли соберет их в комки.

Фиг. 7.11. Межзвездное пылевое облако.

На фигуре видны «маленькие» черные пятнышки — быть может, начало скопления газа и пыли, из которых благодаря их притяжению начинает возникать звезда. Приходилось ли нам когда-либо видеть рожде­ние звезды — вопрос спорный. На фиг. 7.12 дано некоторое сви­детельство того, что приходилось.

Фиг. 7.12. Образование новых звезд?

Слева показан светящийся газ, а внутри него — несколько звезд. Это снимок 1947 г. Сни­мок справа сделан через 7 лет; теперь видны уже два новых ярких пятна. Уж не скопился ли здесь газ, не вынудило ли его тяготение собраться в шар, достаточно большой, чтобы в нем началась звездная ядерная реакция, превращая его в звезду? Может быть, да, а может, и нет. Маловероятно, что нам повезло увидеть, как всего за семь лет звезда стала видимой, но еще ме­нее вероятно увидать рождение сразу двух звезд.

Опыт Кавендиша

Итак, тяготение распространяется на огромные расстояния. Но если существует притяжение между любыми двумя объекта­ми, то должна существовать и возможность измерить силу, дей­ствующую между ними. И не обязательно следить за движением звезд; почему бы не взять два шара, свинцовый и мраморный, и не проследить, как один будет двигаться к другому? Трудность столь простого по идее опыта заключается в крайней слабости, незаметности сил. Проводить его следует с исключительной ос­торожностью: сначала выкачать из аппарата воздух, убедить­ся, что нигде нет электрических зарядов и т. д., и только тогда можно попытаться измерить силу. Впервые она была измерена Кавендишем при помощи устройства, схематически изображен­ного на фиг. 7.13.

Фиг. 7.13. Упрощенная схема прибора, использованного Кавен­дишем для проверки закона все­мирного тяготения для малых тел и измерения постоянной тя­готения G.

Опыт Кавендиша доказал, что существует си­ла, действующая между двумя большими закрепленными свин­цовыми шарами и двумя меньшими (тоже из свинца); в опыте шары размещались на концах коромысла, висящего на очень тонкой упругой нити. Измеряя, насколько закрутится нить, можно было узнать величину силы и убедиться, что она обрат-

но пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом точ­но определялся коэффициент G в формуле

F=Gmm'/r²

ибо все массы и расстояния здесь известны. Вы можете возра­зить: «Все это для Земли было известно и раньше». Все, кроме массы Земли. Определив из этого опыта величину G и зная силу притяжения Земли, можно было косвенно определить ее мас­су! Опыт поэтому называют «взвешиванием Земли». Кавендиш утверждал, что он взвесил Землю, хотя он только измерил коэф­фициент G; но это единственный способ определить массу Зем­ли. Коэффициент G оказался равным

6,670•10^-11 ньютон•м²/кг² .

Трудно преувеличить силу влияния теории тяготения, ее ве­личественных успехов на историю науки. Вместо царивших в прежние века неуверенности, сомнений, неполноты знаний, бес­конечных споров и парадоксов перед людьми предстал новый закон во всей своей четкости и простоте. Как важно было то, что все луны, все планеты, все звезды подчиняются столь простому правилу! Но еще важнее то, что человек оказался в состоянии понять это правило и предсказывать на будущее пути планет! Это определило быстрый, успешный рост науки в последующие годы; у людей появилась надежда, что и в других явлениях мира прячутся такие же простые закономерности.