Необходимые и достаточные условия экстремума
В классическом методе используется безусловная оптимизация, когда известно аналитическое выражение целевой функции F(X) и она не менее чем дважды дифференцируема по управляемым параметрам.
Разложим F(X) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной точки Х`.
F(X) = F(X`) + ∂F/∂x1∆x1 + ∂F/∂x2 ∆x2 + … + ∂F/∂xn ∆xn + ½! (∂2F/∂x12∆x21 +
+∂2F/∂x1∂x2 ∆x1∆x2+ … + ∂2F/∂xn2 ∆xn2) +... ,
где ∆xi = xi -xi`
∂F/∂xk – первая производнаяпо xk.
X1 – X1`
∆Х = Х – Х` = X2 – X2` - вектор столбец.
X3 – X3`
∆Xt – матрица строка (X1 – X1`; X2 – X2`;…; Xn – Xn`)
∂2F/∂x12; ∂2F/∂x1∂x2; ….∂2F/∂x1∂xn
∂2F/∂x1∂x2; ∂2F/∂x22;……. ∂2F/∂x2∂xn
∂2F/∂X2=Ю= …………………………………………. – матрица Гессе.
∂2F/∂x1∂xn; ∂2F/∂x2∂xn;… ∂2F/∂xn2
F(X) = F(X`) + ∂F/∂X*∆X + 1/2 ∆Xt * ∂2F/∂X2 *∆X + …
F(X) – F(X`) < 0 – условие максимума.
Может выполняться только при ∂F/∂X = grad F = 0 – необходимое условие экстремума.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума называются стационарными.
∆Xt * ∂2F/∂X2 *∆X < 0
Матрица Гессе Ю, удовлетворяющую данному условию при любых ∆Х называют отрицательно определенной матрицей.
Следовательно, отрицательная определённость матрицы Гессе является достаточным условием максимума.
∆Xt * ∂2F/∂X2 *∆X > 0
Соответственно матрицу Гессе, удовлетворяющую данному условию, называют положительно определённой.
Положительно определённая матрица Гессе достаточное условие min.
Седловая точка – это точка, в которой достаточные условия не выполняются, т.е. нет не максимума, не минимума.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 57;