Определение и свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Построение понятия определенного интеграла состоит из следующих этапов.

Пусть на отрезке [a, b] определена функция у = f(x). Отрезок [a, b] разобьем на п частей точками а = х₀ < х₁ < х₂ < ….. < х < х_п = b (разбиение R). На любом отрезке( - частичный отрезок) выберем по произвольной точке ξ [х , x_i+1]. (Рис1) ∆х =х ₊₁-х - длина отрезка. Составим сумму S = ξ )∆х - n – ая интегральная сумма (Римана) функции f на отрезке [a, b].

Геометрический смысл суммыS_n - это есть алгебраическая сумма площадей

прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆x , a

высоты равны f(ξ ). (В том
случае функция неотрицательна функция)

Обозначим через γ_R = max ∆x - максимальную длину отрезков

длину отрезков [х х ₊₁] разбиения R. Предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма р_ис1. S_n, когда γ_R = max ∆x →0, называется определенным интегралом от функции f на отрезке [a, b] и обозначается:

(1)

Предел (1) называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует называют интегрируемой в смысле Римана.

Определение:Определенным интегралом функции у= на отрезке называется интеграл:

a – нижний предел.

b – верхний предел.

f(x) – подынтегральная функция.

dx- дифференциал независимой переменной.

Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (1) связано с рядом трудностей, так как интегральные суммы имеют сложный вид, и найти их предел нелегко. До XVII века вычисление интегралов являлось трудной математической задачей. Ньютон и Лейбниц указали метод решения таких задач путем сведения к отысканию первообразной функции.

Таким образом, определенный интеграл вычисляется с помощью фундаментальной формулы Ньютона – Лейбница:

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

Интеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов от этих функций:

2) Для любых чисел a, b и с имеет место равенство:

4) При перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак:

5)

2. Вычисление определенных интегралов различными методами.

1. Непосредственное интегрирование - вычисление интегралов с помощью

непосредственного использования таблицы простейших интегралов, основных свойств

неопределенных интегралов и формулы Ньютона – Лейбница.

2. Замена переменной в определенном интеграле:

Определенный интеграл

по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной

t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g - обратная функция к g, т.е. t = g (x).

Пример1:

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то

t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

1. Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

Где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы

нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла

При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается,

за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или

может быть найден.

Пример 2:

Вычислить интеграл

Используем интегрирование по частям: В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

3. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры,

Объемов тел.

Фигура, ограниченная на плоскости ОХУ отрезком оси ОХ, прямыми х=a, x=b и

графиком непрерывной и неотрицательной функции у = f(x) на [a,b], называется

криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно.

Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b],

то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными

линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Вычисление объемов тел вращения:

Пусть дана кривая у=f(x), a≤x≤b. Объем тела вращения, ограниченного плоскостями х= a и х=b и поверхностью вращения кривой вокруг оси ОХ вычисляется по формуле:

Аналогично можно получить формулу объема тела вращения вокруг оси ОУ

;

Длина дуги кривой вычисляется по формуле:

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, выражена как функция

от х, т.е. в виде Ѕ = Ѕ(х) (а ), то объем части тела, заключенный между перпендикулярными

оси Ох плоскостями х=а и х=b находится по формуле

V=