Построение нечетких правил

Проектирование базы нечетких правил на основе численных данных

При решении большинства прикладных задач регулирования информацию, необходимую для построения и реализации системы управления, можно разделить на две части: численную (количественную), получаемую с измерительных датчиков, и лингвистическую (качественную), поступающую от эксперта. Значительная часть нечетких систем регулирования использует второй вид знаний, чаще всего представляемых в форме базы нечетких правил.

В случае, когда возникает необходимость спроектировать нечеткую систему, но в наличии имеются только численные данные, мы сталкиваемся с серьезными проблемами. Одним из путей их разрешения считаются так называемые нейро-нечеткие (fuzzy-neural) системы, представленные в главе 5. Они обладают многими достоинствами, однако сдерживающим моментом является длительность наполнения их знаниями (построения базы правил) в процессе итеративного обучения. Далее излагается один из простейших, но в то же время весьма универсальный метод построения базы нечетких правил на основе численных данных [30, 31]. Достоинства этого метода заключаются в его необычайной простоте и очень высокой эффективности. Кроме того, он позволяет объединять численную информацию, представленную в форме обучающих данных, с лингвистической информацией, имеющей вид базы правил, за счет дополнения имеющейся базы правилами, созданными на основе численных данных.

Построение нечетких правил

Допустим для упрощения, что мы создаем базу правил для нечеткой системы с двумя входами и одним выходом. Очевидно, что для этого необходимы обучающие данные в виде множества пар

, (3.278)

где , - сигналы, подаваемые на вход модуля нечеткого управления, а - ожидаемое (эталонное) значение выходного сигнала. Задача заключается в формировании таких нечетких правил, чтобы сконструированный на их основе модуль управления при получении входных сигналов генерировал корректные (имеющие наименьшую погрешность) выходные сигналы.

Шаг 1. Разделение пространств входных и выходных сигналов на области.

Представим, что нам известно минимальное и максимальное значения каждого сигнала. По ним можно определить интервалы, в которых находятся допустимые значения. Например, для входного сигнала такой интервал обозначим . Если значения и неизвестны, то можно воспользоваться обучающими данными и выбрать из них соответственно минимальное и максимальное значения

, .

Аналогично для сигнала определим интервал , а для эталонного сигнала - интервал .

Каждый определенный таким образом интервал разделим на областей (отрезков), причем значение для каждого сигнала подбирается индивидуально, а отрезки могут иметь одинаковую или различную длину. Отдельные области обозначим следующим образом: (Малый ), ..., (Малый 1), (Средний), (Большой 1), ..., (Большой ) и для каждого из них определим одну функцию принадлежности. На рис. 3.37 представлен пример такого разделения, где область определения сигнала разбита на пять подобластей , сигнала - на семь подобластей , тогда как область определения выходного сигнала - на пять подобластей .

Рис. 1 – Разделение пространств входных и выходных сигналов на области и соответствующие им функции принадлежности.

Каждая функция принадлежности имеет треугольную форму; одна из вершин располагается в центре области и ей соответствует значение функции, равное 1. Две других вершины лежат в центрах соседних областей, им соответствуют значения функции, равные 0. Очевидно, что такое разделение выбрано для примера. Можно предложить много других способов разделения входного и выходного пространства на отдельные области и использовать другие формы функций принадлежности.

Шаг 2. Построение нечетких правил на основе обучающих данных.

Вначале определим степени принадлежности обучающих данных ( , и ) к каждой области, выделенной на шаге 1. Эти степени будут выражаться значениями функций принадлежности соответствующих нечетких множеств для каждой группы данных. Например, для случая, показанного на рис. 1, степень принадлежности данного к области составляет 0,8, к области - 0,2, а к остальным областям - 0. Аналогично для данного степень принадлежности к области составляет 1, а к остальным областям - 0. Теперь сопоставим обучающие данные , и областям, в которых они имеют максимальные степени принадлежности. Заметим, что имеет наибольшую степень принадлежности к области , а - к области . Окончательно для каждой пары обучающих данных можно записать одно правило, т.е.

: IF( это AND это ) THEN это ;

: IF( это AND это ) THEN это .

Шаг 3. Приписывание каждому правилу степени истинности.

Как правило, в наличии имеется большое количество пар обучающих данных, по каждой из них может быть сформулировано одно правило, поэтому существует высокая вероятность того, что некоторые из этих правил окажутся противоречивыми. Это относится к правилам с одной и той же посылкой (условием), но с разными следствиями (выводами). Один из методов решения этой проблемы заключается в приписывании каждому правилу так называемой степени истинности с последующим выбором из противоречащих друг другу правил того, у которого эта степень окажется наибольшей. Таким образом, не только разрешается проблема противоречивых правил, но и значительно уменьшается их общее количество. Для правила вида

: IF( это AND это ) THEN ( это )

степень истинности, обозначаемая как , определяется как

Таким образом, первое правило из нашего примера имеет степень истинности

(3.282)

а второе правило -

(3.283)

Шаг 4. Создание базы нечетких правил.

Способ построения базы нечетких правил представлен на рис. 2. Эта база представляется таблицей, которая заполняется нечеткими правилами следующим образом: если правило имеет вид

: IF ( это AND это ) THEN это , (3.284)

то на пересечении строки (соответствующей сигналу ) и столбца (сигнал ) вписываем название нечеткого множества, присутствующего в следствии, т.е. (соответствующего выходному сигналу ). Если имеется несколько нечетких правил с одной и той же посылкой, то из них выбирается то, которое имеет наивысшую степень истинности.

Рис. 2 – Форма базы нечетких правил

Шаг 5. Дефуззификация.

Наша задача заключается в определении с помощью базы правил отображения , где - выходная величина нечеткой системы. При определении количественного значения управляющего воздействия для данных, входных сигналов необходимо выполнять операцию дефуззификации. Вначале для входных сигналов с использованием операции произведения объединим посылки (условия) –го нечеткого правила. Таким образом, определяется так называемая степень активности –го правила. Ее значение рассчитывается по формуле

. (3.285)

Например, для первого правила степень активности определяется выражением

. (3.286)

Для расчета выходного значения воспользуемся способом дефуззификации по среднему центру (3.269)

. (3.287)

Рассмотренный метод легко можно обобщить на случай нечеткой системы с любым числом входов и выходов. На рис. 3 представлен алгоритм построения базы правил в виде блок-схемы, которая может служить основой для подготовки соответствующей программной реализации.