Синтез робастных систем управления
Системы данного типа, в отличие от рассмотренных выше, состоят из линейного объекта управления с неопределённостью (см. § 4.6) и линейного регулятора. Соответствующие H∞-оптимальные регуляторы, помимо робастной устойчивости замкнутой системы (см. § 4.6), обеспечивают подавление влияния внешних воздействий на ошибку системы в заданной степени и оптимизацию других критериев качества управления при наличии неопределённости в объекте. При этом воздействия также предполагаются ограниченными, но в известной степени неопределёнными.
Строгие методы теории H∞-оптимизации являются аналитическими, причём для их реализации разработаны специальные программные средства, например, они имеются в системе MATLAB. Однако непосредственное применение этих методов осложнено рядом трудностей. Во-первых, необходимо задать ряд вспомогательных функций, выбор которых достаточно сложен. Во-вторых, порядок H∞-оптимальных регуляторов часто получается значительно выше порядка объекта управления. Наконец, робастные к параметрам объекта системы оказываются не грубыми к параметрам самого H∞-оптимального регулятора. Поэтому целесообразнее осуществлять синтез оптимальных в смысле H∞-критерия робастных САУ с априори выбранным регулятором, небольшого порядка. Именно этот подход к построению робастных САУ рассматривается ниже.
В настоящее время синтез H∞-оптимальных регуляторов ведется либо на основе передаточных функций (передаточных матриц в многомерном случае), либо на основе уравнений в переменных состояния объекта управления с неопределенностями.
Рассмотрим определение систем, оптимальных в смысле H∞-критерия, в терминах передаточных функций, ограничившись случаем одномерных систем (с одним входом и одним выходом). Схема рассматриваемой здесь САУ соответствует рис. 1.1. Объект управления может описываться передаточной функцией следующего вида:
, , (8.45)
где , – заданные полиномы, – неопределённые параметры, ; – масштаб параметрической неопределённости объекта.
Передаточная функция соответствует номинальному объекту. Объект с неопределённостью может быть задан и непараметрической передаточной функцией вида
, , (8.46)
Здесь – неопределённая рациональная функция, описывающая аддитивную неопределённость объекта управления; – вспомогательная (весовая) функция. Выбором этой функции можно изменять частотный диапазон неопределенностей ОУ, влияние которых должно подавляться проектируемым H∞-оптимальным регулятором робастной САУ.
Отметим, что в (8.46) и далее через обозначается H∞-норма функции H(p). Эта норма определяется выражением
, (8.47)
т.е. H∞-норма некоторой функции H(jω) представляет собой sup – точное верхнее значение
модуля этой функции H(jω), определённое по всем частотам от нуля до бесконечности.
H∞-оптимальный регулятор, прежде всего, является стабилизирующим и в рассматриваемом случае описывается передаточной функцией , т.е. он реализует управление по отклонению (по выходу, если задающее воздействие g равно нулю).
Как отмечалось выше, аналитическое определение структуры и параметров H∞-оптимального регулятора нерационально. Поэтому чаще всего структурой его задаются, а параметры определяются в процессе синтеза путем параметрической оптимизации. Например, это может быть П-регулятор
, (8.48)
или ПИ-регулятор
, (8.49)
или ПИД-регулятор
, (8.50)
или регулятор 1-го порядка
. (8.51)
Здесь k1, k2, k3 – искомые параметры регуляторов (8.48) – (8.51).
Кроме устойчивости, H∞-оптимальный регулятор должен обеспечить оптимальное значение некоторого критерия качества замкнутой системы. Чаще всего используется H∞-критерий, который формулируется следующим образом:
, (8.52)
где W1(p), W2(p) – вспомогательные весовые функции, назначение которых то же, что и функции в (8.46); S(p) – функция чувствительности системы. Эта функция в рассматриваемом случае определяется выражением
. (8.53)
Функция Wyg(p) в (8.52) – это передаточная функция замкнутой системы
. (8.54)
Физический смысл H∞-критерия (8.52) заключается в следующем. Как показано в главе 5, ошибка системы, вызванная внешними воздействиями, определяется выражением
,
где g(p) – изображение задающего воздействия; f0(p) – изображение возмущающего воздействия, приложенного (или приведённого) к входу системы.
Регулятор системы всегда выбирается так, чтобы при номинальных значениях параметров система имела требуемые показатели качества. При любых изменениях свойств объекта управления или воздействий ошибка системы, естественно, изменяется. В качественной системе эти изменения должны быть, естественно, минимальными.
Допустим, свойства объекта управления, а также задающего и возмущающих воздействий изменились так, что их изображения имеют вид, аналогичный (8.46), т.е. , , . Тогда для модуля изменения ошибки можно записать равенство
. (8.55)
В правой части равенства (8.55) аргумент jω всех функций опущен для краткости. С учетом обозначений (8.53) и (8.54) равенство (8.55) можно представить так
. (8.56)
Здесь
(8.57)
функция чувствительности системы к изменениям свойств объекта управления.
Согласно (8.56), влияние изменений объекта, которые описываются функцией , а также изменения задающего и возмущающего воздействий ( и ) определяются, очевидно, значениями функций (8.53) и (8.57) или, что то же самое, значениями функций , и . Именно поэтому эти функции и называются функциями чувствительности.
В соответствии с выражением (8.56), чем меньше будут максимальные значения модулей функций и , тем меньше будет влияние изменений свойств объекта и внешних воздействий на свойства замкнутой системы, т.е. тем более робастной она будет.
Чтобы учесть в H∞-критерии те или иные (высоко- или низко-) частотные составляющие воздействий, вводятся весовые вспомогательные функции и . Ясно, что в критерии (8.52) будут учитываться составляющие воздействий лишь с теми частотами, на которых функции и существенно отличаются от нуля. Примеры этих функций приводятся ниже.
Обозначим передаточную функцию H∞-регулятора, имеющего некоторое число параметров ki через , где – m-вектор строка параметров.
На практике H∞-регулятор обычно определяется путем решения следующих более
простых задач:
1. Обеспечение робастной устойчивости при аддитивной неопределенности (8.46). В этом случае H∞-критерий (8.52) переходит в критерий
, (8.58)
где
(8.59)
или
. (8.60)
2. Обеспечение H∞-качества. Здесь H∞-критерий (8.52) с учетом (8.54) переходит в критерий
, (8.61)
где
(8.62)
Применяются и другие представления H∞-критерия (8.52), которые позволяют минимизировать влияние различных неопределённостей системы управления.
Фактически, в случае задач 1 или 2 H∞-оптимальный регулятор должен обеспечить следующие свойства:
а) замкнутая система является устойчивой, т.е. её характеристический полином
(8.63)
удовлетворяет критерию Гурвица;
б) функция H(p, k) (8.62) также соответствует устойчивой системе;
в) для заданного числа γ выполняется неравенство
, при всех .
Из условия а) следует, очевидно, что объект управления при всех изменениях его
структуры и параметров должен быть стабилизируемым. В противном случае задача синтеза H∞-оптимального регулятора решения не имеет.
Если объект является стабилизируемым [см. С. 68], то искомый H∞-оптимальный регулятор можно найти следующим образом. Сначала в пространстве параметров ki строятся области, в каждой из которых выполняется одно из условий а), б) или в). Затем находится пересечение указанных областей, что и определяет область, любая точка которой соответствует параметрам искомого H∞-оптимального регулятора. Конкретные значения параметров регулятора выбираются, исходя из дополнительных соображений, например, по времени регулирования, перерегулированию, колебательности и т.п. (см. далее, пример 8.4).
Если весовые функции W1(p) и W2(p) устойчивы, то условия а) и б) совпадают. Имея это в виду, представим функцию H(p, k) (8.62) следующим образом:
.
Тогда граница области в пространстве параметров, где выполняются условия а) и б) определяется [6] решением системы уравнений
, (8.64)
Граница области, где выполняется условие в) определяется решением следующей системы из трёх уравнений:
, ,
. (8.65)
Системы (8.64) и (8.65) в общем случае решаются с применением ЭВМ. Однако в некоторых случаях можно получить и аналитическое решение.
Например, для ПИД-регулятора (8.50) , поэтому при фиксированном k1, когда замкнутая система должна удовлетворять критерию (8.61), (8.62), функция
. В этом случае система (8.65) имеет вид:
(8.66)
где
,
, ,
.
В этих выражениях B(jω) и A(jω) – числитель и знаменатель комплексного коэффициента передачи объекта управления, т.е.
.
Вещественные корни первого уравнения (8.66)
(8.67)
существуют только при условии , которое позволяет выделить интервалы частот, в которых следует искать решение системы (8.66). Из второго уравнения (8.66) находится выражение для k3(ω), а затем – для k2(ω) = l + ω2 k3(ω). В результате получаются параметрические выражения для координат точек двух кривых, которые определяют область допустимых значений параметров регулятора
, (8.68)
. (8.69)
Здесь , , а частота ω пробегает все те интервалы частот, в которых выполняется условие .
Аналогично выписывается в явном виде и система (8.64). При этом, если полиномы числителей и знаменателей весовой функции W2(jω) и комплексного коэффициента передачи объекта Wyu(jω) не имеют чисто мнимых (включая нуль) корней, то решением системы (8.64) является плоскость k2 = 0 при ω = 0.
Пример 8.4. Найти параметры ПИД-регулятора (8.50) с k1 = – 0,35, который обеспечивает H∞-качество по критерию (8.61) при γ = 1 [6]. Передаточная функция объекта управления и вспомогательная весовая функция имеют вид
, .
Критерий (8.61) при заданной весовой функции W2(p) обеспечивает малые значения передаточной функции системы на высоких частотах. Это обусловлено тем, что на малых частотах модуль близок к 0,1, а на высоких частотах – к единице.
Решение. В данном случае область устойчивости в плоскости (k2, k3) является треугольником с вершинами в точках (0; 0,4507), (0; – 1), (– 0,15; – 1). Этот треугольник показан на рис. 8.5. При γ = 1 из условия следует уравнение
.
Решение этого уравнения даёт два интервала частот: [0,2085; 0,50627] и [1,3749; ∞), в которых следует искать границы области допустимых параметров.
Выражения (8.68), (8.69) при различных значениях частот из указанных интервалов дают левую и нижнюю границы области допустимых параметров искомого ПИД-регулятора. Эта область располагается, естественно, внутри указанного выше треугольника и показана на рис. 8.5 штриховкой.
Переходные процессы системы при k2 = – 0,02 и k3 = – 0,4 приведены на рис. 8.6,а; а при k2 = – 0,01 и k3 = – 0,2 – на рис. 8.6,б соответственно. Как видно, характер переходных процессов H∞-оптимальной системы существенно зависит от параметров регулятора. ■
Пример 8.5. Для объекта с передаточной функцией
(8.70)
найти H∞-оптимальный регулятор, обеспечивающий низкую чувствительность замкнутой системы на низких частотах. Другими словами, регулятор должен обеспечить выполнение неравенства
, (8.71)
где S(jω) = S(p) при p = jω, а функция S(p) определяется выражениями (8.53), (8.70).
Решение. Теория H∞-оптимизации не позволяет оптимизировать непосредственно функцию S(jω), поэтому для решения задачи синтеза формируется H∞-критерий качества (8.52), где
, а . (8.72)
В результате минимизации критерия (8.52) с функциями (8.72) и (8.70) методом H∞-оптимизации получается [10] следующее выражение для передаточной функции регулятора:
.
При этом значение H∞-критерия равно 0,1202.
Решение данной задачи можно получить с помощью более простого ПИ-регулятора с передаточной функцией
.
При этом регуляторе значение H∞-критерия равно 0,0373.
Как видно, более простой оптимальный ПИ-регулятор обеспечивает более высокое качество, чем сложный H∞-оптимальный регулятор. Этим, в частности, можно объяснить широкое распространение типовых регуляторов (8.48) – (8.50) на практике.
Отметим также, что более высокое качество H∞-оптимального ПИ-регулятора объясняется, во-первых, тем, что он имеет более простую структуру, а во-вторых, тем, что его параметры найдены путем непосредственной минимизации левой части неравенства (8.71) по параметрам регулятора (8.49).
Переходной процесс замкнутой системы с найденным H∞-оптимальным ПИ-регулятором приведён на рис. 8.7. Как видно, несмотря на то, что она является оптимальной в смысле H∞-нормы своей функции чувствительности, колебательность её переходных процессов, очевидно, слишком высока для практических применений. ■
Пример 8.6. Найти робастно стабилизирующий регулятор для объекта с интервальной передаточной функцией
, , . (8.73)
При γ = 1 эту функцию в более наглядной форме можно представит следующим образом:
. (8.74)
Решение. В результате применения техники H∞-оптимизации при Wyu(p) (8.74) можно получить [10] робастно стабилизирующий регулятор с передаточной функцией
.
С другой стороны, легко убедиться с помощью критерия Харитонова (см. § 4.6), что робастно стабилизирующим регулятором в данном случае является и простой П-регулятор (8.48) с коэффициентом передачи k1 = 1. Причём, и в этом случае значительно более простой регулятор обеспечивает решение задачи робастной стабилизации неопределённого объекта. Более того, если применить более сложный робастно стабилизирующий регулятор, например, H∞-оптимальный регулятор первого порядка типа (8.51) при k1 = 1 и принять, что в передаточной функции (8.73) все величины , то, осуществляя прямую максимизацию величины γ по параметрам k2 и k3, получим робастно стабилизирующий регулятор с передаточной функцией
. (8.75)
При этом величины qi в неравенствах (8.73) могут удовлетворять неравенствам , . Следовательно, допустимую неопределённость объекта (8.73) можно значительно повысить, применяя простой регулятор первого порядка (8.75). Переходные процессы замкнутой системы (8.73), (8.75) при q1 = – 0.666; q2 = q3 = q4 = – 0,833 приведены на рис. 8.8,а, а при q1 = q4 = 1; q2 = q3 = –1 показаны на рис. 8.8,б.
С помощью критерия Харитонова также легко убедиться, что система (8.73), (8.75) остаётся устойчивой и при других значениях параметров объекта (8.73), где . Однако характер её переходных процессов достаточно сильно отличается от переходного процесса при номинальных значениях параметров объекта управления. ■
Таким образом, параметрическая оптимизация H∞-критериев при использовании простейших регуляторов типа (8.48) – (8.51) позволяет получать решение различных задач синтеза линейных САУ, если уравнения объектов содержат существенные неопределённости.
Отметим также, что понятие радиуса запасов устойчивости (см. § 4.5) позволяет синтезировать робастно устойчивые многомерные системы с заданным радиусом запасов устойчивости r* аналитическим методом [16]. При этом задача синтеза сводится к решению двух уравнений Риккати, для решения которых, как отмечалось выше, существуют специальные машинные программы.
Однако в этом случае допустимые вариации параметров и структуры объекта управления непосредственно, например, в виде (8.45) или (8.46), не оцениваются. Предполагается лишь, что отклонения параметров объекта и регулятора настолько малы, что выполняется неравенство (4.26) при некотором заданном значении r = r*.
Г л а в а 9
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 136;