Синтез систем с заданным числом назначаемых нулей

В тех случаях, когда воздействие измеряется, но абсолютная инвариантность не достижима, точность системы управления можно существенно повысить, увеличивая число равных нулю коэффициентов ошибки (т.е. нулей) системы по данному воздействию. В особенности это имеет значение, когда внешние воздействия являются полиномиальными, или когда частоты колебательных воздействий меньше единицы. Для обеспечения необходимого числа нулевых коэффициентов ошибки необходимо, чтобы синтезируемая система имела соответствующее число назначаемых коэффициентов числителей или нулей передаточных функций по данному воздействию. Если необходимое число назначаемых коэффициентов числителя превышает величину , то порядок устройства управления, т.е. величину , принимают больше минимального значения .

Пусть, исходя из требований к качеству синтезируемой системы управления, определены числа , т.е. числа назначаемых (варьируемых) коэффициентов числителей ее передаточных функций (8.9), (8.10) по каждому из измеряемых воздействий и . Тогда необходимый порядок управляющего устройства можно найти по формуле

(8.40)

Здесь черта над последовательностью означает, что индекс не принимает значений, равных номерам тех возмущений, по которым необходимо и возможно обеспечить равенство нулю всех коэффициентов ошибки. Отметим, что формула (8.40) непосредственно следует из выражений (8.13), (8.14).

Имея в виду возможность назначения желаемых значений коэффициентов числителей передаточных функций (8.9), (8.10), сформулируем ряд следствий, вытекающих из теоремы 8.1 и соотношений (8.6) – (8.8).

Следствие 1. Желаемые значения любого числа коэффициентов ошибки , по задающему воздействию системы (7.24), (8.3) можно обеспечить, назначив соответствующие значения коэффициентов , , только тогда, когда полином из уравнения объекта (7.24) имеет коэффициент , т.е. когда число нулевых корней этого полинома . ■

Следствие 2. Все коэффициенты полинома в уравнении (8.5) будут назначаемы, если возмущение измеряется; в уравнении (7.24) полиномы: , а число . При этом степень полинома равна . ■

В частности, в условиях следствия 2 при все коэффициенты ошибки системы (7.24), (8.3) по воздействию будут нулевыми, т.е. эта система управления будет абсолютно инвариантной к данному воздействию .

Следствие 3. Нулевые значения любого числа коэффициентов ошибки ,... по измеряемому возмущению системы (7.24), (8.3) можно обеспечить при , если только , т.е. если число нулевых корней полинома не меньше, чем у полинома . ■

Приведенные следствия позволяют при полном объекте управления и соответствующих дополнительных условиях осуществить синтез системы управления с любым заданным числом нулевых коэффициентов ошибки или инвариантной до ε по отношению к измеряемым возмущениям . Расчет параметров устройства управления в этом случае ведется в следующей последовательности:

- на основе заданного уравнения (7.24) объекта определяются полиномы параметры и проверяется его полнота. Если объект является полным, то с помощью приведенных выше следствий 1 – 3 оцениваются возможности назначения коэффициентов числителей передаточных функций замкнутой системы по каждому из воздействий , ;

- исходя из требований к качеству синтезируемой системы, определяется требуемое число назначаемых или варьируемых коэффициентов числителей передаточных функций по каждому воздействию или и выделяются те воздействия, по которым будет обеспечиваться инвариантность;

- затем по формуле (8.40) определяется порядок регулятора, т.е. величина r, и выбираются коэффициенты характеристического полинома системы степени , а

также значения назначаемых коэффициентов каждого полинома .

Коэффициенты полиномов и определяются решением системы (8.16). Коэффициенты полинома определяются с помощью рекуррентных выражений:

,

, .

Здесь , а – назначенные коэффициенты полинома .

Коэффициенты полинома определяются по формулам:

, .

В этих выражениях – назначенные коэффициенты полинома ; – коэффициенты полинома

.

Далее определяются уравнения или передаточные функции замкнутой системы, в которые подставляются полученные значения всех коэффициентов, за исключением варьируемых. Затем составляются выражения для принятых критериев качества, определяются оптимальные значения варьируемых коэффициентов обычными методами. Наконец, с помощью формул (8.17) определяются коэффициенты уравнений устройства управления в переменных состояния (8.1), (8.2), и составляется его схема.

Изложенную методику синтеза проиллюстрируем примером.

Пример 8.3. Синтезировать систему управления электроприводом, уравнения которого имеют следующий вид:

, (8.41)

. (8.42)

Возмущения и измеряются. Найти устройство управления, при котором система управления данным объектом имеет нулевые значения коэффициентов ошибки , , по задающему воздействию, , и по возмущению и всех – по возмущению . При этом время регулирования с и перерегулирование не более 20%.

Решение. Применяя формулы (5.17), (5.18) к уравнениям (8.41), (8.42), найдём полиномы: , , , .

В данном случае полиномы и не имеют общих нулей, т.е. заданный объект управления по условию (3.21) является полным. Степени , , , поэтому в соответствии с приведенными следствиями 1 – 3 можно обеспечить желаемые значения любого числа (но не всех!) коэффициентов ошибки по задающему воздействию и возмущению , а также нулевые значения всех коэффициентов ошибки по возмущению . Другими словами, поставленная задача имеет решение.

Для обеспечения заданных значений коэффициентов ошибки необходимо иметь возможность назначать по три коэффициента полиномов и , а также все (в данном случае ) коэффициенты полинома , т.е. , , .

Определим порядок устройства управления. В нашем случае , а последовательность из формулы (8.40) имеет вид: . Следовательно, по этой формуле . При этом порядок системы будет .

Стандартные коэффициенты нормированного характеристического полинома системы 4-го порядка с астатизмом 3-го порядка по задающему воздействию, согласно табл. 6.1, равны: , , , и . При время переходного процесса составляет 4,4 с, а перерегулирование 20 %, что соответствует допустимому. Отношение . Полагая , с помощью выражения (6.13) найдем желаемые коэффициенты характеристического полинома : , , , , .

По формуле (5.41) для обеспечения нулевых значений коэффициентов , и принимаем , , . Для обеспечения нулевых значений коэффициентов , и по формуле (5.42) принимаем . Наконец, для обеспечения нулевых коэффициентов ошибки по возмущению , согласно следствию 2, полагаем .

Далее с помощью соответствующей системы (8.16) находим: , , ; , . С учетом принятых значений , , находятся коэффициенты , , , а с учетом принятых выше значений коэффициентов и получаем: , , , , , .

Коэффициенты уравнений искомого устройства управления в форме (8.1), (8.2) вычисляются по формулам (8.17), притом, что полином . В результате будем иметь

, (8.43)

. (8.44)

Схема реализации УУ (8.43), (8.44) на операционных усилителях показана на рис. 8.4. Путем исключения переменных , , , и управления u из уравнений (8.41) – (8.44)

можно получить (при нулевых начальных условиях) следующее выражение для изображения регулируемой величины синтезированной системы управления:

.

Отсюда следует, что синтезированная система удовлетворяет требованиям в отношении переходных процессов, а также требованиям по точности отработки задающего воздействия g и подавления влияния возмущений f₁ и f₂.

Отметим, что порядок управляющего устройства (8.43), (8.44) на единицу больше минимально допустимого. Таким образом, увеличение порядка, т.е. сложности системы управления, позволяет удовлетворить более широкому кругу требований к её качеству.

Кроме того, из приведённых в этой главе примеров следует, что увеличение числа входов в УУ значительно повышает возможность придания проектируемой САУ требуемых свойств.