Временные характеристики

Характеристики динамических звеньев или систем описывают поведение звеньев или систем при действии на них тех или иных типовых воздействий. Различают временные и частотные характеристики. К временным характеристикам относятся:

- переходная функция;

- импульсная переходная функция.

Рассмотрим эти характеристики подробнее.

Переходная функция. Переходной функцией динамического звена (системы) называется его (её) реакция на ступенчатое единичное воздействие при нулевых начальных условиях. Она обозначается обычно h(t). Если система имеет больше одного входа или выхода, то h(t) определяется между каждым входом и каждым выходом в отдельности. В общем случае переходная функция может иметь вид одной из тех функций, графики которых изображены на рис. 2.7.

По виду переходной функции различают:

- звенья с самовыравниванием, у которых ;

- звенья без самовыравнивания, у которых при . К ним, в частности, относятся все звенья интегрирующего типа.

На рис. 2.7 приведены: 1, 2, 4 – h(t) систем с самовыравниванием; 3 – h(t) системы без самовыравнивания; 4 – h(t) системы с самовыравниванием, но вызванная возмущающим воздействием. Фактически, переходная функция звена или системы с самовыравниванием описывает переходный процесс этого звена или системы, при котором выходная величина переходит от одного установившегося значения к другому.

Так как по определению при нулевых начальных условиях, то при и нулевых начальных условиях изображение выхода системы . Отсюда получаем, что отношение является изображением по Лапласу переходной функции. Следовательно,

. (2.8)

Здесь – символ обратного преобразования Лапласа.

Из приведенных уравнений типовых звеньев следует, что в общем случае уравнения звеньев или систем с одним входом и одним выходом имеют вид

, (2.9)

. (2.10)

Тогда переходную функцию h(t)динамического звена или системы (2.9), (2.10) можно вычислить по следующей формуле :

, . (2.11)

где – переходная матрица системы (2.9). Этот интеграл можно взять в символьной форме, если . Тогда

, . (2.12)

Пример 2.1.Найти переходную функциюинерционного звена.

Решение. Передаточная функция данного звена имеет вид (2.4). Поэтому по формуле (2.8) в данном случае находим

. (2.13)

График этой функции показан на рис. 2.8. В соответствии с этим графиком постоянная времени T характеризует быстродействие инерционного звена, т.е. быстроту приближения его выходной переменной y к установившемуся значению .

По формуле (2.13) легко установить, что через время 3T после начала переходного процесса отклонение h(t)от её установившегося значенияне превышает 5% от . Следовательно, чем больше T, тем дольше длится переходный процесс. ■

Пример 2.2. Найти переходную функцию интегратора по формуле (2.11).

Решение. В соответствии с приведенными выше уравнениями интегратора в переменных состояния матрица и векторы из (2.9), (2.10) равны: , , , , т.е. переходная матрица . Поэтому, подставляя в (2.11), будем иметь

.

График этой функции при показан на рис. 2.9. Как видно, в данном случае, чем больше K, тем больше скорость изменения выходной величины. ■

Импульсная переходная (весовая) функция.Импульсной переходной (весовой) функцией звена или системы называется их реакция на -функцию при нулевых начальных условиях.

Типичные импульсные переходные функции показаны на рис. 2.10. На этом рисунке кривая 1 – это звена с самовыравниванием. Она стремится с ростом t к нулю; 2 – это звена без самовыравнивания. Она стремится к некоторому не нулевому значению.

Импульсная переходная функция характеризует реакцию звеньев или систем на ударные (импульсные) воздействия. Она может быть вычислена в зависимости от вида заданного описания звена или системы по формулам

или . (2.14)

В частности, если в уравнениях (2.9), (2.10) , то, применяя формулу (2.14) к выражению (2.12), получим

.

На рис. 2.11 приведены графики импульсных переходных функций: инерционного звена – 1 и интегратора – 2 (при K=1).

Пример 2.3.Найти импульсную переходную (весовую) функцию инерционного звена.

Решение. В примере 2.1 было получено выражение (2.13) для в этом случае. Поэтому, дифференцируя это выражение по t в соответствии со второй формулой (2.14), найдём

.

График этой функции приведен на рис. 2.11 (кривая 1). ■

В настоящее время построение временных характеристик, как и решение других задач ТАУ, целесообразно осуществлять с помощью ПЭВМ. Для этой цели разработаны различные программные средства. Одним из наиболее удобных является пакет MATLAB.

Для примера построим с помощью этого пакета графики переходной функции h_g(t) и импульсной переходной функции w_g(t) по задающему воздействию g системы, которая описывается уравнениями

, .

Для решения данной задачи в командном окне (Command Window) пакета MATLAB вводятся следующие команды:

sys=ss([-3 2;1 -2],[0;1],[2 0], 0.2);

step(sys)

impulse(sys)

В результате на экране монитора появятся графики переходной h(t) и весовой w(t) функций данной системы, которые приведены на рис. 2.12, (Step Response) и (Impulse Response) соответственно.

Совершенно аналогично можно построить в MATLAB графики функций h(t) и w(t) для других звеньев или систем, если они задаются передаточными функциями. Если, например, передаточная функция имеет вид (2.6), где K = 2; T₁ = 0,5 c; T₂ = 1,5 c, то в приведённом выше наборе первая команда заменяется командой

sys = tf([1 2],[1.5 1]);