Определение динамических звеньев

С точки зрения входных воздействий, переменных состояния и выходных переменных всякая САУ может рассматриваться как некоторый преобразователь входных воздействий и начальных условий в переменные состояния и выходные переменные (величины). В общем случае эти преобразования описываются математическими моделями системы, т.е. её уравнениями в переменных состояния или уравнениями «вход-выход». По этим уравнениям может быть составлена структурная схема системы, которая отражает (как и уравнения системы) те математические преобразования над переменными, которые осуществляются в данной системе в процессе её функционирования. На структурных схемах обычно встречаются повторяющиеся элементы, которые описывают одни и те же математические преобразования (как правило, простые: сложение, вычитание, умножение, дифференцирование, интегрирование). Такие элементы и получили название динамических звеньев.Обозначениединамического звена приведено на рис. 2.1.

Таким образом, динамическое звено – это элемент структурной схемы системы, описывающий определенную совокупность математических операций по преобразованию входной переменной в выходную.

Динамические звенья отличаются друг от друга видом соответствующих им операций и могут быть описаны передаточными функциями или уравнениями в переменных состояния. Обычно динамические звенья различают по их передаточным функциям.

Среди всего множества динамических звеньев выделяют звенья с наиболее простыми передаточными функциями, которые называются типовыми динамическими звеньями.Типовые динамические звенья различаются, прежде всего, по их порядку (степени полинома в знаменателе соответствующей передаточной функции).

К типовым обычно относят динамические звенья нулевого, первого и второго порядка. Считается, что динамические звенья одинаково полно описываются как моделями «вход-выход», так и соответствующими моделями в переменных состояния минимального порядка. При этом порядок модели в переменных состояния равен степени знаменателя передаточной функции звена и наоборот. Рассмотрим типовые звенья подробнее.

Пропорциональное звено. Его передаточная функция

, (2.1)

где – обозначение нулевых начальных условий, K – коэффициент пропорциональности или коэффициент передачи звена, его единственный параметр. Обычно это безразмерная величина. Однако K может быть и размерной величиной, если переменные y и g имеют разные размерности. Из (2.1) следует, что уравнение «вход-выход» пропорционального звена имеет вид

.

Это звено является безынерционным, т.е. не динамическим, так как его выходной сигнал в каждый момент времени tопределяется только значениями входного сигнала в этот же момент времени. Его порядок равен нулю. Модель этого звена в переменных состояния формально совпадает с его уравнением «вход-выход».

Примером данного звена может служить электронный усилитель или потенциометрический делитель напряжения.

Дифференцирующее звено (идеальное). Его передаточная функция

, (2.2)

а уравнение вход-выход

.

Здесь коэффициент K отражает соотношение размерностей переменных y и g, а параметр Т имеет размерность времени и называется постоянной времени.

Идеальное дифференцирующее звено является весьма сильной идеализацией реальных звеньев, обладающих дифференцирующими свойствами. Поэтому оно является физически не реализуемым и не имеет модели в переменных состояния.

Форсирующее звено. Его передаточная функция

,

а уравнение вход-выход

.

Как и в предыдущем случае, коэффициент передачи K отражает соотношение размерностей переменных y и g, а также их соотношение их значений в статике; параметр Т – постоянная времени форсирующего звена.

Форсирующее звено также является сильной идеализацией реальных звеньев, обладающих дифференцирующими свойствами. Оно является физически не реализуемым и не имеет модели в переменных состояния. Если в четырёхполюснике, схема которого приведена на рис. 2.5, произведение R₂Т₂ намного меньше произведения R₁Т₁, то его можно рассматривать как пример форсирующего звена.

Включение форсирующего звена в САУ соответствующим образом позволяет ускорить процессы регулирования и управления. Поэтому оно и называется форсирующим.

Типовые звенья первого порядка. Интегрирующее звено (интегратор). Его передаточная функция

,

а уравнение «вход-выход»

. (2.3)

Здесь коэффициент K также отражает соотношение размерностей переменных y и g, а параметр Т –постоянная времени.

Уравнению «вход-выход» (2.3) интегрирующего звена можно поставить в соответствие следующие уравнения в переменных состояния:

, ,

где x – переменная состояния этого звена.

Примером интегрирующего звена (2.3) может служить двигатель постоянного тока (рис. 2.2,а), если пренебречь напряжением трогания и постоянной времени, входной переменной считать напряжение , а выходной величиной – угол поворота вала .

Интегрирующим звеном можно считать и RC-цепочку, показанную на рис. 2.2,б, если её постоянная времени является достаточно большой величиной.

Инерционное (апериодическое) звено. Его передаточная функция

,

а уравнение «вход-выход» имеет вид

. (2.4)

Здесь – коэффициент передачи, а Т – постоянная времени звена. Эти величины являются параметрами инерционного звена, причем постоянная времени Т отражает его инерционные свойства.

Примером инерционного звена также может служить двигатель постоянного тока, если его выходной величиной считать угловую скорость вращения вала (рис. 2.3). К звеньям этого типа относится и RC-цепочка, показанная на рис. 2.2,б, если её постоянную времени нельзя считать очень большой величиной.

В переменных состояния уравнению «вход-выход» (2.4) соответствуют, например, уравнения

, ,

где x – переменная состояния инерционного звена.

Инерционное звено является одним из самых распространенных типовых звеньев, так как во многих случаях достаточно точно описывает процессы, происходящие во многих реальных элементах динамических систем.

Реальное дифференцирующее звено. Это звено (рис. 2.4) имеет передаточную функцию

. (2.5)

Здесь, в общем случае, коэффициент K также отражает соотношение размерностей выходной и входной переменной, а постоянные времени и – инерционные свойства данного звена.

К дифференцирующим звеньям относятся также различные типы тахогенераторов – маломощных электрических машин, предназначенных для измерения скорости вращения валов.

В переменных состояния это звено описывается уравнениями

, ,

т.е. его состояние характеризуется одной переменной состояния x.

Интегродифференцирующее звено. Его передаточная функция имеет вид

, (2.6)

где , , – параметры интегродифференцирующего (инерционно-форсирующего) звена.

Если Т₁ > T₂, то это звено по свойствам приближается к дифференцирующему (форсирующему) звену. Если же Т₂ > T₁, то его свойства ближе к свойствам интегрирующего (инерционного) звена. К звеньям этого типа относятся RL- или RC-цепочки (рис. 2.5), а также RС- или RL-мостовые схемы.

В переменных состояния интегродифференцирующее звено (2.6) может быть описано уравнениями

, .

Типовые звенья второго порядка. Колебательное звено. Его передаточная функция

. (2.7)

Параметрами этого звена являются: K – коэффициент передачи, Т – постоянная времени и ξ – коэффициент демпфирования, причем . Реакция этого звена на ступенчатое единичное воздействие g(t) = 1(t) приведена на рис. 2.6 (при K = 1). Она имеет колебательный характер, откуда и происходит название этого звена.

Примерами колебательного звена второго порядка могут служить электронные усилители с индуктивно-емкостными связями, LC-многозвенники, электромашинные усилители, электродвигатели с гибкими механическими связями; управляемые асинхронные двигатели; массы, движение которых ограничено гибкой связью; маятники при малых углах качаний и т.п.

Апериодическое звено второго порядка. Его передаточная функция совпадает с предыдущим выражением, но . Поэтому она всегда может быть представлена в виде произведения передаточных функций двух инерционных звеньев, т. е.

.

Идеальное форсирующее звенос передаточной функцией вида

.

Здесь также . Реальных звеньев с такой передаточной функцией не существует. Используется это звено, как и рассмотренное выше форсирующее, при разложении сложных передаточных функций звеньев или систем на более простые.