Акустическая интенсивность. Границы

Акустическая интенсивность представляет собой описание величины расхода акустической энергии на единицу площади за единицу времени. Это то же самое, что и акустическая мощность на единицу площади. Мы измеряем и говорим как о мгновенной интенсивности, так и о средней интенсивности. Мгновенная интенсивность представляет собой произведение акустического давления со скоростью частиц в любой данный момент времени и в той же точке пространства, что и в следующем утверждении.

I (t) - векторная величина, направление которой в любой момент времени соответствует направлению мгновенной передачи акустической мощности. Акустическое давление представляет собой скалярную величину, не имеющую направления в пространстве, хотя она обладает алгебраическим знаком, который может меняться от момента к моменту. Векторный характер интенсивности возникает из-за скорости частицы, которая по своей сути является направленной величиной. Средняя интенсивность в течение заданного интервала времени представляет собой акустическую энергию на единицу площади, проходящую через область, перпендикулярную направлению распространения волны, в заданный интервал времени, усредненный за указанный промежуток времени. Математически это сводится к:

В случае гармонических плоских волн акустическое давление и скорость частиц находятся в фазе, а амплитуда скорости частиц - в отношении давления, деленного на ρ₀c. В этом случае уравнение 16-100 становится:

где, T - период или целое число периодов, соответствующих конкретной частоте.

В случае синусоидальных функций времени, что справедливо для уравнения 16-101, амплитуду давления можно заменить на «среднеквадратичное» значение давления, для получения более простого результата <I(t)> p_rms = 2/ρ₀c. Это возможно для синусоид, потому что среднеквадратичное значение таких функций является амплитудой, разделенной на квадратный корень из двух. Однако я спешу добавить, что это не относится к функциям времени в целом.

В случае сферических гармонических волн из простого источника расчет больше связан с тем, что акустическое давление и скорость частиц могут сильно различаться по фазе. Это похоже на электрический ящик в цепях переменного тока, где синусоидальное напряжение и ток не обязательно находятся в фазе. Разность фаз между напряжением и током компенсируется введением коэффициента мощности в расчет средней мощности. Коэффициент мощности в электрическом ящике представляет собой косинус угла электрического импеданса, где, как и в нашем случае, это косинус угла, который представляет разность фаз между акустическим давлением и скоростью частицы, т. е. угол удельного акустического импеданса. Формальное утверждение средней интенсивности появляется как:

В процессе выполнения интегрирования в уравнении 16-102 используется тригонометрическое тождество, в котором cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B), где мы отождествляем ωt - kr + π / 2 как A и θ как B. Применим это тождество ко второй косинусной функции в интеграле. Далее, мы понимаем, что синусоидальные члены в разложении не вносят никакого вклада в интеграл за полный период сигнала, поэтому интеграл теперь появляется в следующем виде:

Окончательный результат идентичен результату случая плоской волны, поэтому для обоих случаев:

Весь описанный выше анализ в отношении простого сферического источника имеет приложения к источникам других форм, если наибольший номинальный размер источника, скажем, таков, что ka << 1 и все части поверхности источника смещаются в фазе.

Границы. Предполагается, что простой сферический источник во всем предыдущем анализе полностью изолирован от других источников, а также от любых границ окружающей среды. Далее нам нужно подумать о том, что происходит, когда простой источник расположен очень близко к большому жесткому барьеру, например, указанному на простом эскизе профиля, на рисунке 16-25.

Мы узнали, что движение воздушных частиц должно происходить вдоль радиальных линий, направленных от центра источника. Однако у самого барьера не может быть никакого движения частиц воздуха, перпендикулярного самому барьеру из-за его жесткости, в то время как нет никаких ограничений на движение частиц воздуха, касательно к поверхности барьера. На языке математики нормальная составляющая скорости частиц воздуха должна исчезать на барьере. Для всего пространства справа от барьера выполнение двух вещей может легко удовлетворить этому условию. Сначала заменим барьер воображаемой плоской поверхностью с реальным источником, расположенным справа от плоскости, с точно таким же расстоянием, как и от фактического барьера. Далее мы рассмотрим источник изображения с идентичными свойствами с источником реального источника, расположенным так же далеко слева от плоскости, что и реальный источник справа. Эта новая ситуация изображена на рис. 16-26, где расстояние между источником и плоскостью было преувеличено для ясности.

Рисунок 16-25. Простой сферический источник, расположенный очень близко к идеально бесконечному жесткому барьеру.

В трехмерном пространстве справа от бесконечной плоскости, определяемой х = 0, акустическое давление и скорость частиц точно описываются фактическим простым сферическим источником вместе с его изображением. Мы проиллюстрируем это, выполнив вычисления в трех точках. На рисунке ось z направлена ​​на считыватель. В начале координат x, y и, конечно, z, равны нулю. Реальный источник находится в (δ, 0, 0), в то время как источник изображения находится в (-δ, 0, 0). В начале координат скорости частиц реального и источника изображения имеют одинаковую величину, противоположно направленную и перпендикулярную плоскости. Их векторная сумма, конечно, равна нулю, что удовлетворяет требуемому граничному условию. Указание значения z, отличного от нуля, приведет к такому же изменению величин скоростей частиц двух источников при одновременном добавлении к ним равной тангенциальной составляющей. Нормальные компоненты каждого по-прежнему равны и противоположно направлены так, что граничное условие остается выполненным.

В точке (0, y, 0) радиальные линии, проведенные от каждого источника, перехватывают плоскость так, что x компоненты скорости частиц вдоль линий противоположно направлены, таким образом, отменяя на плоскости, а y-компоненты находятся в одном и том же направлении и, следовательно, добавьте к этому двойнику то, что может произвести только один источник. Наконец, в точке (x, 0, 0) мы имеем дело непосредственно с акустическим давлением, так как нет граничного условия для решения. Амплитуда акустического давления в этой точке, создаваемая фактическим источником, равна ρ₀ωSu_m / 4π (x - δ), тогда как источником изображения является ρ₀ωSu_m / 4π (x + δ). Теперь, если δ очень мало по сравнению с x, означающее, что фактический источник расположен очень близко к барьеру, тогда комбинация этих двух членов давления дает результат p_m = ρ₀ωSu_m / 2πx значение, которое вдвое больше, чем у одного источника без барьера. Наконец, рассмотрим общую точку с координатами (x, y, z). Для реального источника мы имели бы амплитуду давления ρ₀ωSu_m / 4π (x - δ) ² + y² + z², тогда как для источника изображения амплитуда была бы ρ₀ωSu_m / 4π (x + δ) ² + y² + z².

Опять же, если фактический источник очень близок к барьеру, так что δ очень мал по сравнению с x, тогда объединенная амплитуда давления удваивается, что создается реальным источником без наличия барьера. Этот результат называется полупространственным излучением из одного источника, что выражается формулой:

где,

Метод изображений может применяться при любых обстоятельствах, когда барьер присутствует даже тогда, когда на место фактического источника не помещается никаких ограничений. Один из них просто определяет отдельные радиальные расстояния от фактического и источника изображения и использует эти разные значения радиального расстояния, как в расчете амплитуды, так и при вычислении фазы. Например, предположим, что фактический источник имеет координаты (x_a, 0, 0), где x_a - любое положительное значение. Радиальное расстояние от фактического источника до любой точки пространства справа от барьера тогда равно r_a = (x - x_a) ² + y² + z², а радиальное расстояние от источника изображения равно r_i = (x + x_a) ² + y² + z². Тогда акустическое давление в общей пространственной точке (x, y, z) справа от барьера:

Конусный громкоговоритель, установленный в закрытом корпусе далеко от любых границ, будет действовать как простой сферический источник, излучающий во все пространство на низких частотах, где длины волн велики по сравнению с размерами корпуса. Аналогично, такой громкоговоритель, расположенный на полу в середине большой комнаты, будет действовать как простой сферический источник, излучаемый в полупространство, опять же, только на низких частотах.