Неплоскостное волновое движение в трубе

Когда плоская волновая труба возбуждается по своему происхождению плотно прилегающим осциллирующим поршнем, как показано на рисунке 16-16, то результирующее волновое движение представляет собой волну плоской волны, распространяющуюся в направлении увеличения z. В этом движении акустическое давление и скорость частиц равномерны по поперечному сечению трубки, а скорость частицы колеблется только в направлении z. Фазовая скорость этого движения плоской волны не зависит от частоты возбуждения. Это не относится к произвольному типу возбуждения и не обязательно верно, когда драйвер сжатия возбуждает плоскую волновую трубку, поскольку фронт выходящей волны от такого устройства может иметь некоторую кривизну. В таких случаях необходимо рассмотреть более общее решение волнового уравнения, согласующееся с геометрией плоской волновой трубки.

Рисунок 16-16. Плоская волновая трубка, возбуждаемая осциллирующим поршнем в начале координат.

В терминах цилиндрических координат (r, θ и z), которые являются простейшими для использования в геометрии, общее решение волнового уравнения для акустического давления выражается как произведение трех различных функций. Первая из этих функций описывает, как акустическое давление зависит от радиального расстояния от центральной или z-оси трубки. Вторая функция описывает, как изменяется акустическое давление с полярным углом, измеренным вокруг центральной оси. Третья функция описывает, как изменяется акустическое давление относительно обоих положений вдоль оси z и со временем.

Радиальное поведение описывается функцией Бесселя первого типа, в которой есть много вариантов, в зависимости от того, какая мода движения волны задействована. Эти функции Бесселя упорядочены индексом m. Функции Бесселя с порядком от 0 до 3 изображены на рис. 16-17.

Рисунок 16-17. Функции Бесселя J_m (x) для порядков m = 0 - m = 3.

Как видно из рис. 16-17, функции Бесселя первого рода оказываются почти как затухающие синусоидальные или косинусные функции переменной х, хотя они таковыми не являются, так как пересечения нуля не являются периодическими. Нужно ссылаться на математические таблицы или математические программы на компьютере, чтобы получить подробное поведение. Переменная x, используемая на рис. 16-17, не относится к пространственной переменной x, а скорее к комбинации k_mnr, где r - радиальное расстояние от оси z, а k_mn - постоянная распространения радиального волнового движения. Сначала выключенная, она имеет два интегральных индекса m и n. Индекс m относится к порядку функции Бесселя, а индекс n относится к порядку положения переменной x на рис. 16-17, где конкретная функция Бесселя имеет нулевой наклон. Этот нулевой наклон важен, поскольку приемлемым решением может быть только то, для которого радиальная компонента скорости частицы должна исчезать на жесткой стенке волновода, и эта радиальная составляющая скорости частицы пропорциональна производной акустического давления по отношению к переменной r. При r = а, производная давления соответствует r, т. е. наклон, должен быть равен нулю. Например, пусть m = 1. Первое значение x за началом координат, при котором наклон этой кривой равен нулю, находится в точке x = 1.841. Для этого требуется, чтобы k₁₁ был равен 1,841/a для того, чтобы k₁₁r = 1,841, когда r становится равным a. Аналогично, когда m = 2, первое появление нулевого наклона для x = 3.054, требующее k₂₁, быть 3.054 / a. Значение этого можно узнать из соотношения между константой радиального распространения k_mn и константой распространения вдоль оси z, которая равна k_z. Это соотношение kz = [(ω / c)² - (kmn) ²] ^{1 / 2}. Чтобы иметь распространяющуюся моду вдоль оси z, kz должно быть вещественным числом. Это будет справедливо только для тех рабочих частот (ω / c) ² > (k_mn) ², где или при ω > k_mnc. Рассмотрим моду, где m = 1 и n = 1. Частота, ниже которой эта мода не может распространяться, то есть частота среза, определяется формулой

и

В таблице 16-3 перечислены все модальные частоты среза в полосе частот 20 кГц для плоской волновой трубки диаметром 1 дюйм (0,0254 м). Частоты среза для трубки диаметром два дюйма составляют половину длины для трубки диаметром 1 дюйм.

Таблица 16-3. Частоты среза в звуковой полосе для плоской волновой трубки с диаметром в один дюйм.

Моды, перечисленные в таблице 16-3, являются дисперсионными модами. Они распространяются на рабочих частотах выше их соответствующих частот отсечки, но делают это с частотно-зависимой фазовой скоростью. Это означает, что разные частотные компоненты широкополосного сигнала выше точки среза, распространяющиеся с разными скоростями и формами волны, не сохраняются. Фазовая скорость, измеренная вдоль оси z, задается ω/[(ω/c)² - k_mn ²] ^1/2. Ниже ее соответствующей частоты отсечки каждая мода становится незаметной. Это означает, что мода не распространяется или не переносит энергию вдоль оси z, а ее вклад давления экспоненциально затухает с расстоянием от начала координат.

На данный момент разумный вопрос: «Как выглядит решение со всеми этими дополнительными осложнениями?» Ответ представляет собой сумму по всем показателям, которые могут вносить вклад в заданную рабочую частоту или диапазон рабочих частот в терминах давления следующей структуры:

В приведенном выше уравнении A_mn - амплитудные коэффициенты, определяемые условиями возбуждающего источника. Эти амплитудные коэффициенты различаются в зависимости от значений m и n, а именно от конкретной моды. Все эти не планарные моды имеют неоднородное давление, а также полярности по сечению волновода. Следующий вопрос должен быть следующим: «Где во всем этом наше знакомое решение плоской волны?» Ответ снова заключается в дальнейшем рассмотрении рис. 16-17. Заметим, что при m = 0 функция J₀ имеет нулевой наклон при x = 0, который находится справа в начале координат. Для этого случая не только m = 0, но и n, и k₀₀, также равны нулю, а J₀ (k₀₀r) имеет значение, не зависящее от r. При m = 0, cos (mθ) не зависит от угла θ, и решение становится знакомым p (z, t) = Acos (ωt - k_zz), где A - амплитуда давления на поверхности поршня, которая является однородной над поперечным сечением трубки. Кроме того, поскольку k₀₀ равно нулю, фазовая скорость является постоянным значением c на всех частотах.