Что такое волна и почему. Общие свойства воздуха

В отличие от электромагнитных волн, которые могут существовать как в вакууме, так и в материальных веществах, звуковые волны являются механическими волнами и требуют материальной среды, в которой они могут существовать. Среда может быть либо твердой, такой как стержень из стали, или жидкой, такой как вода или воздух. Жидкости отличаются от твердых веществ тем, что жидкость будет принимать форму контейнера, в который она помещена. Однако если жидкость представляет собой жидкость небольшого объема, она не будет занимать все пространство, предоставленное контейнером большего внутреннего объема, тогда как газообразная жидкость будет занимать все внутреннее пространство, предоставленное контейнером.

При этом давление, температура и энергетическое содержание газа должны подвергаться корректировкам, чтобы сделать это возможным. Цель здесь состоит в том, чтобы фундаментально изучить волновые свойства, такие как, скорость, дисперсия, преобразование импульса, передача энергии и руководствоваться как физическими законами, так и свойствами среды-носителя. На пути мы встретим все знакомые волновые свойства, такие как интерференция, дифракция и преломление, а также фазовая и групповая скорость. Это факт, что звук воздушного происхождения играет доминирующую роль в звуковом усилении и акустике помещений, поэтому мы начнем наше исследование с воздуха, который считается поддерживающей средой для нашей работы со звуковыми волнами.

Общие свойства воздуха. Воздух представляет собой смесь нескольких различных газообразных компонентов, главные из которых показаны в таблице 16-1 в виде молекулярных фракций общей композиции. Числа, отображаемые в виде десятичных дробей, предназначены для сухого воздуха. Нормальный воздух также содержит водяной пар. Он в таблице не отображается, так как варьируется в зависимости от погодных условий. Основным акустическим воздействием влажности воздуха является частотно-зависимое преобразование звуковой энергии в тепло. Этот процесс будет описан в соответствующее время.

Таблица 16-1. Основные компоненты сухого воздуха на уровне моря.

Обратите внимание: если вы суммируете столбец фракций, то результат будет немного меньше единицы. Причина этого заключается в том, что сухой воздух также содержит остаточные количества водорода, гелия, неона, криптона, ксенона, радона и метана. Фракции, представленные в таблице, представляют собой молекулярные фракции, а не массовые фракции. Это означает, что если вы возьмете образец сухого воздуха на уровне моря, то 78,040% молекул в образце будут двухатомными молекулами азота, а 20,946% - двухатомными молекулами кислорода и т. д. Мы могли бы построить аналогичную таблицу, где фракции полной массы, а не фракции от общего числа молекул, представляют собой различные компоненты.

Массовые фракции будут отличаться, потому что, например, молекулы кислорода имеют большую массу, чем молекулы азота. При обсуждении молекулярных масс, связанных с образцом вещества, с которым вы можете столкнуться в повседневной жизни, т.е. например, макроскопический образец, мы обычно называем молем вещества. Моль является одной из семи базовых единиц СИ и называется количеством вещества. Моль имеет значение 6.02 (10²³), которое является числом Авогадро. У вас может быть моль чего угодно. Моль долларов составит $ 6,02 (10²³). При такой сумме денег вы могли бы дать каждому человеку на земле сумму, равную национальному долгу Соединенных Штатов и никогда не потратите ее! Моль сухого воздуха имеет массу 0,02898 кг. Это называется молярной массой сухого воздуха. Молярная масса будет представлена ​​в этой статье как М.

Исходными условиями для стандартной атмосферы обычно считаются давление на уровне моря с температурой 0° С. Эта температура по Цельсию или в градусах Цельсия соответствует 273,15 К по абсолютной шкале или по шкале Кельвина. Следует отметить, что мы не пишем ° K, потому что только K означает градусы по шкале абсолютной температуры. Также обратите внимание, что приращения градуса на каждой шкале одинакового размера, поэтому любое показание температуры по шкале Цельсия может быть преобразовано в абсолютное показание, просто добавив 273,15. Стандартная атмосфера имеет статическое или невозмущенное давление 1,01325 (10⁵) Паскалей (Па) и плотность 1,293 кг • м^-3. Звук с уровнем SPL 94 дБ соответствует среднеквадратическому звуковому давлению 1Pa. Этот умеренно громкий звук, представляющий собой возмущение статических условий, нарушает атмосферное давление менее одной части в 10⁵. Сопровождение возмущения давления также вызывает локальные нарушения плотности и температуры воздуха. Чтобы понять это, мы должны проконсультироваться с тем, что называется уравнением состояния газа. Кроме того, источник звука подает в воздух акустическую энергию. Чтобы справиться с этим, мы должны проконсультироваться с первым законом термодинамики. Уравнение состояния идеального газа, заданное законом идеального газа, гласит:

где, P - общее давление газа на стенки сосуда,

V - внутренний объем контейнера,

T - абсолютная температура газа,

n - количество молей газа в контейнере,

R - универсальная газовая постоянная.

Значение R составляет 8,3145 Дж • моль^-1 • K^-1. Джоуль сокращенно J. Идеальный газ был бы таким, в котором столкновения между отдельными молекулами газа, а также столкновения со стенками контейнера были бы совершенно «упругими», где в процессах столкновения сохранялись как импульсная, так и кинетическая энергия. Реальные газы не подчиняются закону идеального газа при всех возможных условиях. Закон идеального газа определялся экспериментальным исследованием поведения реальных газов в зависимости от плотности газа. Было обнаружено, что при достаточно низких плотностях все реальные газы соответствуют тому же уравнению состояния, которое стало известно как закон идеального газа.

Поведение воздуха в диапазонах температуры и давления, с которыми мы обычно сталкиваемся в повседневной жизни, следует закону идеального газа с небольшой погрешностью. На этом этапе следует отметить, что закон идеального газа может быть выражен с использованием плотности газа, а не объема газа, в качестве переменной, представляющей интерес. Пусть общая масса нашего образца газа будет представлена ​​m. Тогда число молей в нашем образце газа станет m / M, и мы можем написать следующую последовательность уравнений:

В последнем уравнении масса на единицу объема или плотность газа представлена ​​греческой буквой рo (ρ).

Первый закон термодинамики в простых терминах гласит, что изменение внутренней энергии физической системы равно тепловой энергии, добавленной в систему, минус работа, выполняемая системой. Если мы обозначим через Q добавленную тепловую энергию, а W представляет выполненную работу, то ΔU = Q - W, где ΔU означает изменение внутренней энергии. В случае системы, состоящей из идеального газа, внутренняя энергия связана только с кинетическими энергиями молекул, составляющими газ. Отдельные молекулы в таком газе подвергаются случайным движениям по всему объему газа и имеют скорости, которые могут изменяться от момента к моменту в результате столкновений с другими молекулами или со стенками сосуда.

Моноатомные молекулы, такие как Ar, могут иметь только кинетические энергии, связанные с переносом в трех перпендикулярных пространственных направлениях. Мы говорим, что такие молекулы имеют три степени свободы. Двухатомные молекулы, такие как N₂ и O₂ в дополнение к переносу, могут иметь кинетические энергии, связанные с вращениями около двух перпендикулярных осей. Говорят, что такие молекулы имеют пять степеней свободы. Наконец, многоатомные молекулы, такие как СО₂, потенциально могут совершать различные вращения вокруг трех взаимно перпендикулярных осей и иметь шесть степеней свободы. Кинетическая теория говорит нам, что для каждой молекулы в газе в среднем имеется кинетическая энергия, пропорциональная kT, где k - постоянная Больцмана с k, равной R, деленной на число Авогадро или 1,38 (10^-23) J • К^-1. Значимость этого заключается в том, что внутренняя энергия идеального газа или реального газа, который ведет себя как идеальный газ, прямо пропорциональна только абсолютной температуре. Независимо от сложности структуры молекулы, каждая молекула в газе имеет среднюю поступательную кинетическую энергию 3 / 2kT. Знание средней кинетической энергии молекулы позволяет вычислять среднеквадратичную молекулярную скорость. Формула для этого вычисления:

Если применить эту формулу для воздуха при стандартных условиях v_rms будет 485 м•с^–1. В результате многих экспериментов было определено два типа процессов сжатия и расширения воздуха, связанных со звуковыми волнами. Первый и самый простой из них обычно происходит на ультразвуковых частотах, значительно выше слышимого спектра, но может также возникать в закрытом корпусе громкоговорителя, который полностью заполнен (за исключением объема, занимаемого громкоговорителем) свободно упакованным стекловолокном. Это изотермический процесс. Второй процесс известен как адиабатический процесс и применим в свободном воздухе по всему слышимому спектру и за его пределами. Изотермический процесс - это процесс, в котором температура газа и, следовательно, его внутренняя энергия остаются постоянными.

Проверка закона идеального газа для фиксированного количества газа и фиксированной температуры показывает, что изотермический процесс описывается PV = C_T, где C_T является только константой. Для одного моля воздуха при стандартных условиях C_T = 2270 Дж. Адиабатический процесс - тот, в котором тепловая энергия ни добавляется, ни вычитается. Для адиабатического процесса не только соотношение давления и объема следует закону идеального газа, оно также должно удовлетворять PV^γ = C_Q, где C_Q - постоянная, зависящая от состояния газа, а γ - постоянная для конкретной смеси, составляющей газ. Для воздуха γ имеет значение 1,402 и безразмерна, тогда как для одного моля воздуха при стандартных условиях C_Q имеет значение 493 со странными размерами Pa • (m³) ^γ. Моль любого идеального газа при стандартных условиях атмосферного давления на уровне моря и температуре 273,15К занимает объем 0,0224 м³ независимо от типа процесса расширения или сжатия, который может произойти. Это иллюстрируется на рисунке 16-1 для одного моля воздуха, где проводится сравнение между графиками отношения давления и объема, как для изотермического, так и для адиабатического процесса.

В точке пересечения двух кривых, давления газа, объемы газа и температуры газа одинаковы. В изотермическом процессе первый закон термодинамики говорит нам, что, когда воздух делает объем работы W против внешнего воздействия, расширяющегося за точкой пересечения, в атмосферу необходимо добавить количество тепла Q, равное W, чтобы поддерживать температуру T при фиксированном значении. И наоборот, когда внешнее воздействие сжимает газ и, таким образом, работает на газ при уменьшении его объема, соответствующее количество тепловой энергии должно быть удалено из газа, чтобы поддерживать постоянную температуру T. При постоянной температуре в обоих обстоятельствах не происходит изменения внутренней энергии газа. Однако в адиабатическом процессе тепловая энергия не добавляется или удаляется, поэтому, когда газ работает во время расширения, сам газ должен подавать эту энергию. Как следствие, внутренняя энергия газа уменьшается, и температура газа падает. И наоборот, конечно, когда внешнее воздействие сжимает газ адиабатически, то работа выполняется над газом, а не газом, а внутренняя энергия газа увеличивается на величину, равную проделанной работе. Это проявляется в повышении температуры газа.

Рисунок 16-1. Изотермически-адиабатическое сравнение. Две кривые имеют общую точку при стандартном давлении и температуре с объемом 0,0224 м³.

Мы уже неоднократно говорили о работе, проводимой над газом или газом, без разглашения того, как определяется работа. Мы спешим удалить это упущение. Предположим, что газ представляет собой воздух, и он содержится в цилиндре с плотно установленным поршнем, на котором мы можем приложить достаточное усилие для перемещения поршня внутрь, чтобы сжать газ адиабатически. В качестве альтернативы, мы можем немного расслабить нашу силу на поршне и позволить адиабатически расширять газ и тем самым выталкивать поршень наружу. Для этого весь аппарат должен быть термически изолирован от внешней среды, так что тепловая энергия не может протечь внутрь или во время процесса. Формальное определение работы газа в процессе изменения объема от начального значения V_i до конечного значения V_f определяется следующим интегральным уравнением.

Этот интеграл имеет геометрическую интерпретацию. Он фактически вычисляет площадь, лежащую ниже графика давления и объема между пределами V_i и V_f. Когда конечное значение объема больше начального значения, числовое значение вычисления является положительным, что указывает на то, что газ работал с поршнем при его расширении. Если верно противоположное, конечный объем меньше начального объема, то числовое значение отрицательно указывает на то, что поршень работал на газе, сжимая его. Следует также заметить, что если умножить размеры давления на размеры объема, получим размеры энергии, таким образом, Ньютон • m^-2 • m³ = Newton • m. Ньютон • m, конечно, Джоуль. Пример этого показан на рисунке 16-2, где моль воздуха сжимается от начального объема 0,022 м³ до меньшего объема 0,018 м³.

Рисунок 16-2. Адиабатическое сжатие воздуха. Перекрестная площадь представляет собой работу, выполняемую на газе во время сжатия.

Значение интеграла составляет -478 Дж, со знаком минус, указывающим, что работа была выполнена на газе. Другими словами, внешнее воздействие, толкающее поршень, выполнило работу 478 Дж по сжатию газа. Это количество энергии - это потенциальная энергия, хранящаяся в сжатом газе, потому что газ может выполнять этот объем работы на поршне при его возврате в исходное состояние. Вы можете визуально провести грубый расчет площади под графиком, отметив, что каждый полный заштрихованный блок имеет площадь 0,002 • 20 000 или 40 Дж, и есть 11 полных блоков и немного меньше, чем полный частичный блок. Одиннадцать полных блоков соответствуют 440 Дж.

Наконец, мы готовы к акустическому вычислению чего то важного. Ранее мы упоминали, что адиабатический процесс описывается PV^γ = C_Q, где константа C_Q зависит от количества воздуха. Альтернативное описание адиабатического процесса для воздуха в атмосфере, которое не зависит от количества воздуха:

В этом уравнении Р - общее давление воздуха, когда плотность воздуха ρ и P₀, ρ₀ - значения давления и плотности при стандартных условиях. Рис. 16-3 иллюстрирует такое поведение.

Рисунок 16-3. Давление воздуха относительно плотности. Маркер указывает местоположение точки (P₀, ρ₀).

Если бы мы исследовали кривую в окрестности маркера в сильно увеличенном масштабе, кривая представляла бы прямую линию, и мы могли бы наглядно определить ее графический наклон. Этот наклон описывает отношение небольшого изменения давления к небольшому изменению плотности. В качестве альтернативы мы могли бы использовать методы дифференциального исчисления и точно определить значение для наклона. Называя этот наклон c², наклон кривой в позиции маркера:

При вводе значений для стандартного давления воздуха и плотности c² найдено 109866,71 с размерностью Newton • m • kg^-1 = m² • s^-2. Очевидным следующим шагом является извлечение квадратного корня для нахождения c = 331,46 m • s ^{- 1}. Этот результат должен быть знаком, так как это скорость звука в воздухе при температуре 273,15K! Это, конечно, интересно, и объяснение этому будет доступно. Тем не менее, это не то, что мы ищем в расчетах. Обратим внимание на кубический сантиметр воздуха в стандартных условиях. Кубический сантиметр (см³) составляет 10^-6 кубических метров (10^-6 м³), поэтому наш образец содержит массу 1,293 (10^-6) кг воздуха. Пусть наш образец воздуха будет контактировать с каким-то вибрирующим объектом, так что образец мгновенно сжимается очень небольшим количеством. Образец воздуха теперь занимает меньший объем, поэтому его плотность увеличилась, и это сопровождается увеличением давления воздуха в самом образце. Пусть новое давление будет P = 101326Pa.

Невозмущенное давление составляло P₀ = 101325 Па. То, что мы называем акустическим давлением, p, является разностью между этими двумя числами, поэтому p = P - P₀ = 1 Pa. Теперь мы можем использовать наклон на рис. 16-3 для расчета изменения плотности от p = c² (ρ - ρ₀). Помните, что наклон - это изменение давления, деленное на изменение плотности. Мы можем решить для ρ, найти ρ = 1.293009102 кг • м^-3. Мы начали с массы воздуха 1,293 (10^-6) кг, которая содержалась в начальном объеме V₀ 10^-6 м³. Мы все еще имеем ту же массу воздуха, но теперь в меньшем объеме V, поэтому мы можем записать ρ₀V₀ = ρV. Решая для V, находим, что V = 9.99929606 (10^-7) м³. Изменение объема в процессе сжатия будет тогда: V - V⁰ = -7.039393602 (10^-12) м³. Результатом этого является то, что в нашем сжатом образце воздуха теперь хранится энергия. Часть этой накопленной энергии называется акустической потенциальной энергией и представлена ​​работой, которая может быть выполнена с помощью акустического давления, когда образец расширяется обратно в исходный объем по отношению к внешнему давлению окружающего воздуха. Эта работа может быть определена на рис. 16-4, в которой нанесено акустическое давление в зависимости от размера изменения объема.

Работа, которая может быть выполнена с помощью акустического давления, когда образец расширяется до нормального размера, представляет собой площадь, включенную в треугольник, и в этом случае составляет половину амплитуды основания или 0,5 • 7.039393602 (10^-12) Па • m³ = 3,5197 (10^-12) J. Мы можем вычислить это непосредственно, используя уравнение для акустической потенциальной энергии, которое получается при полном исчислении.

Рисунок 16-4. Акустическая потенциальная энергия - это площадь треугольника.

Приведенное выше уравнение имеет большое значение для вычисления части энергии, передаваемой звуковой волной.

Напомним, что акустическое давление задается p = P - P₀. В этом уравнении p представляет собой акустическое давление в некоторой точке пространства и в некоторое мгновенное время. Аналогично, P - представляет собой возмущенное общее атмосферное давление в одной и той же точке пространства и в тот же момент времени. В то время как P₀ - статическое или невозмущенное атмосферное давление в интересующем нас месте.

Акустическое давление, возможно, является главной акустической переменной. Среднеквадратическое значение акустического давления в определенном месте, выраженное в Паскалях, является тем, что используется для определения уровня звукового давления в этом месте посредством соотношения:

Однако есть много других важных акустических переменных, значения которых зависят от местоположения, как в пространстве, так и во времени. Список тех, которые будут использоваться здесь, приведен в таблице 16-2.

Таблица 16-2. Частичный список акустических переменных.

Таблица 16-2 представляет три акустические переменные, которые мы еще не обсуждали. Акустическая конденсация, обозначенная s, представляет собой просто отношение изменения плотности воздуха, вызванное акустическим возмущением к нормальной статической или невозмущенной плотности воздуха, выраженное уравнением:

В этом уравнении греческая буква rho, ρ, представляет собой полную плотность воздуха в возмущенном состоянии, а ρ₀ - невозмущенная или статическая плотность воздуха. Акустическая переменная, называется перемещением частицы и обозначается греческой буквой кси, ξ, требует более пространных объяснений. Возникает вопрос, что такое воздушная частица? Это не может быть одна молекула, так как воздух всегда состоит из набора различных молекул в пропорциях, приведенных в таблице в начале этой главы. Размер частицы, независимо от ее значения, должен быть достаточно большим, чтобы охватить миллионы молекул, чтобы получить действующие статистические средние и, таким образом, вести себя, по-видимому, как непрерывная жидкость, в то же время он должен быть достаточно малым, чтобы акустические переменные были по существу постоянными по всему объему, занятому частицей. Последнее условие требует, чтобы размеры частицы были намного меньше, чем любая рассматриваемая длина волны звука. Давайте сделаем простой расчет, чтобы определить разумный размер для того, что мы будем называть воздушной частицей. Какой объем занимают, скажем, два миллиона молекул воздуха в стандартных условиях? Ранее мы узнали, что число Авогадро молекул в стандартных условиях будет занимать около 0,0224 м³. Если мы рассмотрим куб краевой размерности l, то по простой пропорции мы можем написать:

Когда это решено для l, то результат оказывается равным 4,2 (10^-7) м. Это расстояние на несколько порядков меньше, чем длины волн, встречающиеся в воздухе даже на ультразвуковых частотах, поэтому оба наших требования выполнены. Мы можем даже округлить это число вверх до значения, которое легче запомнить и сказать, что воздушная частица - это количество воздуха в стандартных условиях, которое занимает куб с краевым размером около 0,5 микрон. Когда мы рассмотрим такой маленький кубический объем воздуха, который мы теперь будем называть воздушной частицей, мы понимаем, что даже при отсутствии акустического возмущения молекулы воздуха постоянно подвергаются случайному тепловому движению.

В результате этого теплового движения некоторые молекулы выходят из объема, но другие молекулы, имеющие одинаковые свойства, также перемещаются в объем. Объем был выбран достаточно большим, так что случайность теплового движения в среднем равна нулю, так что по существу воздух, находящийся в частице, находится в покое. Акустическое возмущение, как мы увидим, накладывает предпочтительное направление движения и, следовательно, может приводить к смещению частицы воздуха в целом. Смещение частиц является векторной величиной и как таковая имеет как магнитуду, так и направление, которые измеряются относительно системы координат. В дополнение к смещению частиц мы также будем рассматривать другую акустическую переменную, описывающую мгновенную скорость, с которой смещение частиц изменяется со временем. Это также векторная величина и называется скоростью частицы. Как видно из таблицы, символом, используемым для скорости частицы, является буква u.

В отсутствие какого-либо акустического возмущения акустические переменные из таблицы 16-2 равны нулю, за исключением ρ, для которого значение становится статическим значением атмосферы ρ₀. Когда присутствует акустическое возмущение, то все акустические переменные, перечисленные в таблице, будут иметь значения, которые зависят от места в пространстве и времени. Для простоты рассмотрим, например, просто акустическое давление. Математически мы говорим, что акустическое давление является функцией координат и времени. Если бы мы использовали общие Декартовы координаты, то это математическое утверждение было бы записано так: p = p (x, y, z, t).

Запись, указанная выше, считывается как «Звуковое давление является функцией от x, y, z и t». Это не говорит вам, какая именно математическая функция, а только то, что такая функция существует. В определенных ситуациях могут быть задействованы не все пространственные координаты. Если акустическое давление зависит только от координаты z и времени, то p = p (z, t) было бы подходящим. Из любой теории или эксперимента мы можем найти, что такое конкретная математическая функциональная зависимость. Например, ответ может быть p = p_mcos (ωt - kz). В этом ответе p_m, ω и k - постоянные, и нам сообщают, что акустическое давление изменяется как косинус разности двух углов, один из которых прямо пропорционален времени, а другой из них прямо пропорционален значению координаты z. Как мы вскоре увидим, эта функция описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении возрастания значений координаты z.