Если ввести аппроксимацию производной

, (2.4.15) при разбиении времени t на малые отрезки Dt, а также использовать дискретизацию времени t = k Dt по целочисленным отсчетам k = 0, 1, 2, … , то уравнение (2.4.4) можно записать в рекурсивной форме

x(k+1) @ (I + Dt A) x(k) + Dt B u(k). (2.4.16)

Точность решения уравнения (2.4.16) повышается с уменьшением Dt.

Метод дискретизации уравнения состояния оказывается чрезвычайно полезным при вычислении временных характеристик нелинейных систем. В этом случае уравнение состояния имеет общий вид

, (2.4.17)

где f есть функция вектора состояния x и вектора входа u.

Используя (2.4.15) легко получить

x(k+1) = x(k) + Dt f[x(k), u(k), k]. (2.4.18)

2.5. Идентификация и устойчивость дискретных моделей

линейных систем.

Предположим, что наблюдается некоторый дискретный сигнал y_n. Рассмотрим его дискретную модель

y_n = a₁₀ y_n-1 + a₂₀ y_n-2 + a₃₀ y_n-3 + + h_n ,

n = 0, 1, 2, …, N–1. (2.5.1)

В данной модели предполагается, что входной сигнал системы

x_n,z =

имеет некоторую задержку z и описывается набором L импульсов d_n с неизвестными амплитудами Dx_n, также подлежащими идентификации.

Будем считать, что помеха h_n имеет нормальный гауссовый характер и некоррелирована (см. Модуль 1).

Будем искать параметры a₁₀, a₂₀, a₃₀ и Dx_n дискретно-разностной динамической модели (2.51) методом наименьших квадратов, минимизируя энергию помехи

СКО = = [y_n – a₁ y_n-1 – a₂ y_n-2 – a₃ y_n-3 –

– ]²Þ min. (2.5.2)

Тогда, из условия ¶ОШ/¶a_ij = ¶ОШ/¶Dx_k = 0, получим следующую систему 3-х линейных уравнений для оценивания параметров динамической модели

Z₁₁ a₁ + Z₁₂ a₂ + Z₁₃ a₃= R₁, (2.5.3)

Z₂₁ a₁ + Z₂₂ a₂+ Z₂₃ a₃= R₂,

Z₃₁ a₁ + Z₃₂ a₂ + Z₃₃ a₃ = R₃, где

Z₁₁ = – = (2.5.4)

= (y₀ y₀ + y₁ y₁ +…+ y_N-1 y_N-1) – (y_z-1 y_z-1 + y_z-2 y_z-2 +…+ y_z-L-1 y_z-L-1),

Z₁₂ = – =

= (y₁ y₀ + y₂ y₁ +…+ y_N-1 y_N-2)– (y_z-1 y_z-2 + y_z-2 y_z-3 +…+ y_z-L-1 y_z-L-2),

Z₁₃ = – =

= (y₂ y₀ + y₃ y₁ +…+ y_N-1 y_N-3)– (y_z-1 y_z-3 + y_z-2 y_z-4 +…+ y_z-L-1 y_z-L-3),

Z₂₁ = – = Z₁₂,

Z₂₂ = – =

= (y₀ y₀ + y₁ y₁ +…+ y_N-2 y_N-2) ‑ (y_z-2 y_z-2 + y_z-3 y_z-3 +…+ y_z-L-2 y_z-L-2),

Z₂₃ = – =

= (y₁ y₀ + y₂ y₁ +…+ y_N-2 y_N-3) – (y_z-2 y_z-3 + y_z-3 y_z-4 +…+ y_z-L-2 y_z-L-3),

Z₃₁ = – = Z₁₃,

Z₃₂ = – = Z₂₃,

Z₃₃ = – =

= (y₀ y₀ + y₁ y₁ +…+ y_N-3 y_N-3) – (y_z-3 y_z-32 + y_z-4 y_z-4 +…+ y_z-L-3 y_z-L-3).

Правые части системы уравнений (2.5.4) определяются как

R₁ = – = (2.5.5)

= (y₁ y₀ + y₂ y₁ +…+ y_N y_N-1)–(y_z y_z-1 + y_z-1 y_z-2 + y_z-2 y_z-3 +…+ y_z-L y_z-L-1),

R₂ = – =

= (y₂ y₀ + y₃ y₁ +…+ y_N y_N-2) –(y_z y_z-2 + y_z-1 y_z-3 + y_z-2 y_z-4 +…+ y_z-L y_z-L-2),

R₃ = – =

= (y₃ y₀ + y₄ y₁ +…+ y_N y_N-3)–(y_z y_z-3 + y_z-1 y_z-4 + y_z-2 y_z-5 +…+ y_z-L y_z-L-3).

Из (2.5.3) следует, что Z₂₁ = Z₁₂, Z₃₁ = Z₁₃, Z₃₂ = Z₂₃. Поэтому детерминант системы и ее алгебраические дополнения соответственно равны

Det_z = Z₁₁ Z₂₂ Z₃₃ ‑ Z₁₁ Z₂₃² ‑ Z₂₂ Z₁₃²‑ Z₃₃ Z₁₂² + 2 Z₁₂ Z₁₃ Z₂₃ ,

Det_a1 = R₁ (Z₂₂ Z₃₃ ‑ Z₂₃²) + (2.5.6)

+ R₂ (Z₁₃ Z₂₃ ‑ Z₁₂ Z₃₃) + R₃ (Z₁₂ Z₂₃ ‑ Z₁₃ Z₂₂),

Det_a2 = R₁ (Z₁₃ Z₂₃ ‑ Z₁₂ Z₃₃) +

+ R₂ (Z₁₁ Z₃₃ ‑ Z₁₃²) + R₃ (Z₁₂ Z₁₃ ‑ Z₁₁ Z₂₃),

Det_a3 = R₁ (Z₁₂ Z₃₃ ‑ Z₁₃ Z₂₂) +

+ R₂ (Z₁₂ Z₁₃ ‑ Z₁₁ Z₂₃) + R₃ (Z₁₁ Z₂₂ ‑ Z₁₂²).

Параметры модели оцениваются как

a₁ = Det_a1 / Det_z = (2.5.7)

= ;

a₂ = Det_a2 / Det_z =

= ;

a₃ = Det_a3 / Det_z =

= .

Коэффициенты Dx_n, вычисляются по оцененным параметрам модели как

Dx_n = y_n – a₁₀ y_n-1 – a₂₀ y_n-2 – a₃₀ y_n-3, (2.5.8)

n = 0, 1, 2, …, N-1.

Спрашивается – как произвести оценку устойчивости полученной модели (2.5.1).

Возможно два подхода.

Теоретическая устойчивость дискретно-разностной модели (2.5.1) проверяется на основании известных в теории автоматического регулирования условий Рауса-Гурвица

a₁₀ + a₂₀ + a₃₀ < 1,

a₁₀ – a₂₀ + a₃₀ > –1, (2.5.9)

a₃₀² + 3a₁₀² + 3a₂₀ (a₃₀ – a₁₀) – 4a₃₀ a₁₀ +

+ 9a₃₀ + 8a₂₀ – 9a₁₀ > –8

или более «мягких» условий

a₁₀ + a₂₀ + a₃₀ < 1, (2.5.10)

a₁₀ – a₂₀ + a₃₀ > –1,

3(a₃₀ + 1) + a₂₀ > a₁,

3(a₃₀ –1) < a₁₀ + a₂₀.

Практическая устойчивость дискретно-разностной модели (2.5.1) проверяется по условию

ОШ_мод / Энергия сигнала = [y_n – z_n ]² / y_n ² < D , (2.5.11)

где D – некоторый порог устойчивости (D £ 1); а z_n – модель, построенная в соответствии с (2.5.1) для оцененных параметров.

2.6. Экспертные корреляционно-экстремальные

системы управления для спектральной

компьютерной квалиметрии.

Корреляционное сравнение данных.

При контроле качества технологических процессовили самих изделий необходимо проводить сравнение наблюдаемых сигналов (данных) X = [X₁, X₂, …, X_N] c некоторой конечной совокупностью {S_m} = {[X_1m, X_2m, …, X_Nm]} опорных сигналов (m = = 1, 2, …, M). На основании результатов сравнения вырабатывается управляющее воздействие u(X, {S_m}). В таких системах основная тяжесть задачи падает на синтез методов, алгоритмов и систем сравнения наблюдаемых и эталонных сигналов.

Для примера, на рис. 2.6.1 приведена система контроля качества жидких сред по оптическому светорассеянию. Луч лазера Л освещает кювету Кс исследуемой жидкостью. Рассеянный свет попадает на детектор Д, формирующий спектр X рассеяния (угловой, цветовой, частотный, оптический, инфракрасный, комбинационный – в зависимости от конкретной задачи и исследуемой жидкости). Данный спектр поступает в устройство сравнения УС (аналоговое, цифровое, цифроаналоговое), куда поступают эталонные спектры S_m, хранящиеся в базе данных БД. Само УС и БД могут быть выполнены как на основе цифровой техники, так и аналоговой голографической техники, проводить сравнение последовательно или параллельно. УС вырабатывает сигналы сравнения m_m = m(X,{S_m}), на основе которых блок управления БУ формирует управление u({m_m}).

	БД

Рис. 2.6.1

Как видно из рисунка, управление, вырабатываемое в контуре обратной связи, осуществляет специализированный поиск в БД. Например, в простейшем случае ищется максимальное значение m_m.

Предположим, что наблюдаемые спектральные данные X описываются аддитивной моделью в виде

X = S + H, (2.6.1)

где S – вектор-столбец опорного сигнала, а H – вектор-столбец аддитивных нормально распределенных нестационарных помех с некоррелированными компонентами, имеющими нулевые математические ожидания áHñ = 0 и дисперсии s_n² = áH_n²ñ.

Оказывается, в зависимости от конкретного вида модели (2.6.1) возможны различные методы оптимального сравнения неизвестных и опорных данных. При этом, оптимальность понимается в смысле экстремума критерия различительной способности при сравнении.

Рассмотрим следующие случаи применения оптимальных корреляторов – алгоритмов, реализующих сравнение данных.

Амплитуда сигнала и мощности помех áH²_nñ известны.

Тогда УС формирует корреляционную меру сходства

m(X, SúF) = S^TF^TFX = å^N_n (F)_n²(S)_n (Х)_n , (2.6.2) (7)

(F)_n = 1/s_n = 1 / áH²_nñ^1/2. (8)

Амплитуда сигнала известна, а мощности помех áH²_nñ

неизвестны.

Тогда УС формирует корреляционную меру сходства

m(X, SúF) = S^TF^TFX / [(X – S)^TF^TF (X – S) + 1], (2.6.3)

(F)_n = 1/ s_n^*, где s_n^*2 – оценки мощности помех.

Амплитуда сигнала и мощности помех неизвестны.

Тогда УС формирует корреляционную меру сходства

m(X, SúF) = 1/ [1 – (S^TF^TFX)² /(S^TF^TFS) (X^TF^TFX)], (2.6.4) (10)

(F)_n = 1 / s_n^*, где s_n^*2 – оценки мощности помех.

Методы спектральной компьютерной квалиметрии.

Практически все стандарты по сертификации качества продукции различных отраслей пищевых производств включают мероприятия по оценке органолептических свойств (признаков или характеристик) пищевых сред – сырья и готовых продуктов, которые гораздо больше, чем физико-химические свойства и пищевая ценность, влияют на выбор потребителей и, в конечном счете, формируют их спрос. Органолептическими свойствами пищевых продуктов являются внешний вид, текстура, вкус и запах, аромат. К сожалению, осуществить грамотную оценку органолептических свойств пищевых продуктов, тем более оперативную и в условиях массового производства, могут далеко не все, даже подготовленные эксперты. Необходимы некоторые «эталонные» качества, основанные на опыте и природных способностях. В то же время, создать подобное количество датчиков различных органолептических свойств, какое имеется у органов осязания и обоняния человека практически невозможно. В этих условиях и была предложена информационная технология спектральной компьютерной квалиметрии (СКК).

Идея СКК основана на разработке специальных или же использовании уже известных инструментальных средств (методов, датчиков и приборов) оперативного контроля разнообразных физико-химических, оптических, реологических и биологических характеристик пищевых сред совместно с автоматизированными (компьютерными) экспертными системами для связывания «спектров» (совокупностей) получаемых инструментальных характеристик с соответствующими органолептическими признаками и другими (потребительскими) характеристиками, оцениваемыми или инструментально измеряемыми опытными экспертами. В дальнейшем, с накоплением данных и знаний, такие экспертные системы должны самостоятельно давать оперативные оценки органолептических и потребительских свойств исследуемых пищевых сред, как отклик на входные запросы в виде соответствующих инструментальных характеристик данных сред. Реализация же СКК требует привлечения современных «синтетических» знаний, а также разработки специальных методов и средств.

Идея СКК наглядно показана на рисунке 2.6.1.

Рис. 2.6.1

СКК особенно эффективна в области управления качеством продукции, основанной на органических средах (растительные и минеральные масла, нефтепродукты), а также вин и ликероводочной продукции, что связано, в первую очередь, с возможностью практического осуществления оперативного спектрального анализа данных жидких сред в широком диапазоне электромагнитных волн.

Для оперативного контроля разнообразных сред представляют интерес следующие методы получения спектральных данных.

1. Метод теплового удара – мгновенное изменение локальной (поверхностной) температуры среды (например, излучением полупроводникового лазера) и измерение температурного отклика среды.

2. Метод акустического удара – мгновенное возбуждение в среде акустических (ультразвуковых) шумов и измерение их спектральных характеристик.

3. Метод электровозбуждения – возбуждение электротока в среде и измерение спектра мощности его флуктуаций.

4. Метод инфракрасной и СВЧ (субмиллиметровой, миллиметровой и сантиметровой) спектроскопии – измерение спектральных свойств среды в диапазонах длин волн от (0,75¸80) мкм до (0,30¸30,00) смсоответственно.

5. Метод оптической спектроскопии – измерение спектральных свойств среды в диапазонах длин волн от (0,20¸ 1000) мкм.

6. Методы жидкостной и газовой хроматографии – разделение вещества на фракции в соответствие их молекулярного состава.

В любом из перечисленных методов формируют спектр S(w) отклика исследуемых сред на внешнее воздействие (см. стр. 44–45). Данные спектры несут косвенную информацию о микро- и макроскопических, физико-химических и структурных свойствах сред. При этом количество M = W / DW потенциальных свойств определяется максимальной шириной W полосы отклика (0 £ w £ W) и разрешающей способностью DW метода.

В результате исследуемая среда с различными потребительскими свойствами 1 и 2 потенциально может откликаться близкими спектральными распределениями S₁(w) и S₂(w), носящими нечетко выраженные различия, как показано на рис. 2. 6.3. Приведенные спектральные распределения измерены с 10% точностью (± H). Поэтому необходимы специальные высокоразрешающие методы численной обработки для их различения.

Рис. 2.6.3

К сожалению, даже не сплошные, а линейчатые спектры пищевых сред носят нечеткий характер, что обусловлено их многокомпонентным составом. Так, на рис. 2.6.4 приведен спектр аминокислотного состава растительного масла, полученный хроматографическим методом, при котором последовательно во времени, путем диффузии, выделяются аминокислотные фракции в соответствии с их молекулярной массой – аминокислоты с легкими молекулярными массами выделяются первыми.

Из рисунка видно, что хроматографические спектры при наличии всех аминокислот могут различаются только своими огибающими.

Причина нечеткости спектральных данных пищевых сред заключается в том, что относительно узкие резонансные линии их многочисленных компонентов накладываются друг на друга, что приводит к «смазыванию» спектральных распределений.

Рис. 2.6.4

Это легко пояснить, опираясь на теорию спектрального анализа, опирающегося на рассмотренную выше теорию частотных характеристик систем (см. стр. 44–45). Спектральное распределение функции отклика среды для «частиц» (атома, молекулы, молекулярных соединений) одного «к»-го сорта, соответствующее зависимости мощности поглощения от частоты w возбуждения, вблизи резонанса w_к, описывается функцией Лоренца

S_к(w) @ S₀ w_к Dw_к /[(w_к – w )² + Dw_к²], (2.6.5)

где Dw_к – ширина поглощения частицы «к»-го сорта.

Отсюда следует, что спектральное распределение функции отклика среды, содержащей различные частицы (к = 1, 2, …, К) имеет вид

S_å(w) = å_к S_к(w) @ å_к S₀ w_к Dw_к / [(w_к – w )² + Dw_к²]. (2.6.6)

Простые вещества (газы, жидкости), состоящие из небольшого количества разнотипных невзаимодействующих «частиц», имеют лорентцевские спектры показанные на рисунке 2.6.5.

Рис. 2.6.5

Пищевые среды, как и другие многокомпонентные вещества, находящиеся в конденсированном состоянии, состоят из огромного количества различных «частиц», лорентцевские спектры которых значительно уширены из-за связей, удерживающих данные частицы в едином комплексе.

В качестве наглядного примера на рис. 2.6.6. приведен спектр поглощения среды состоящей из частиц трех разных типов.

Видно, что из-за наложения лорентцевских спектральных линий и большой ширины каждой из них результирующий спектр приобретает «смазанный» или нечеткий характер. Вполне естественно, что спектральное разрешение уменьшается с уменьшением полосы частот используемых воздействий. С падением разрешения падает и способность различения близких спектральных распределений, особенно в нерезонансной области спектра поглощения.

Рис. 2.6.6

Основная проблема спектральной компьютерной квалиметрии – уверенное различение «близких» спектральных распределений. Для решения этой проблемы возможно использовать рассмотренные выше корреляторы.

Другой проблемой является формирование базы данных «опорных» спектров {S_m = [S_1m , S_2m , …, S_Nm]} (m = 1, 2, …, M) и «эталонных» векторов {Y_m = [Y_1m , Y_2m , …, Y_Nm]} описания свойств пищевых продуктов, а также – построение экспертных правил (знаний), на основании которых будет синтезироваться вектор отклика Yна неизвестный входной спектр X.

Построение экспертных правил возможно осуществить на основе моделей регрессионных зависимостей, минимизирующих СКО соответствующих выходов модели

Y_k (X) = (å^M_mÁ[X, S_m])^-1å^M_m Y_km Á[X, S_m], (2.6.6)

где Á[X, S_m] – ядро преобразования, определяемое на основании мер сходства X и S_m, а также – статистических предположений о распределении «эталонных» образов {S_m, Y_m}.

Вопросы для самопроверки к главе 2.

1. Каково назначение ЦАП и АЦП в цифровых системах

управления? Изобразите функциональную схему

одноконтурной цифровой системы управления.

2. Что такое квантователь или ключ? Какое

функциональное преобразование он осуществляет?

3. Как работает ЦАП? Изобразите функциональную схему

ключа и фиксатора (экстраполятора нулевого уровня).

Чему равна передаточная функция экстраполятора?

4. Как выражается z-преобразование сигнала?

5. Как построить z-преобразование передаточной функции

разомкнутой дискретной системы?

6. Как определить отклик дискретной системы на

единичный импульсный входной сигнал, на единичный

ступенчатый входной сигнал?

7. Как определить устойчивость линейной непрерывной

системы с обратной связью по ее непрерывной

передаточной функции П(s)?

8. Как определить устойчивость линейной непрерывной

системы с обратной связью по ее дискретной

передаточной функции П(z)?

9. В чем принципиальная разница по устойчивости между

дискретной и непрерывной системами второго порядка?

10. Как получить дискретную аппроксимацию цифрового

регулятора?

11. Как получить уравнение непрерывной динамической

системы в переменных ее состояния?

12. Как описывается в общем случае состояние линейной

динамической системы в ее состояния? Приведите

векторное описание.

13. Приведите общий вид решения уравнения состояния.

14. Как определяется фундаментальная или переходная

матрица состояния?

15. Выпишите вид линейного и нелинейного уравнений

состояний в дискретно-разностной форме.

16. Объясните смысл и СКО метод идентификации

дискретных моделей линейных систем.

17. Как провести оценку устойчивости дискретно-

разностной модели линейной системы.

18. Приведите функциональную схему системы контроля

качества жидких сред по оптическому светорассеянию.

19. Приведите примеры корреляционных мер сходства.

Чем они отличаются?

20. В чем заключаются методы спектральной

компьютерной квалиметрии?

21. Какие методы получения спектральных данных Вы

знаете?

22. Что лежит в основе теории спектрального анализа?

23. Почему спектры многокомпонентных веществ,

находящихся в конденсированном состоянии носят

нечеткий размытый характер?

24. Какие две проблемы спектральной компьютерной

квалиметрии Вы знаете?

25. Объясните смысл построения экспертных правил в

компьютерной квалиметрии.