Описание динамики состояний технологических процессов.

Любые технологические комплексы, операции, а также процессы (последовательность операций) на системном уровне возможно рассматривать как некоторые технологические объекты (ТО) и технологические процессы (ТП), обладающие определенными структурами, входами и выходами. Это позволяет производить их численное моделирование с целью поиска приемлемых (наилучших), а иногда и оптимальных (с точки зрения определенных критериев) управляющих решений.

ТП на самом верхнем (целевом) уровне может быть описан структурой, приведенной на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Все входы и выход ТП образованы материальными («жирные» линии), финансовыми («тонкие» линии) и информационными (пунктирные линии) потоками данных. Через эти потоки ТО связывается с другими объектами. В то же время следует различать операционные (вход, выход) и управляющие (управление) потоки данных.

По входу и выходу состояние ТП характеризуется его основными технико-экономическими показателями, совокупность которых (например, из N показателей) и образуют операционные потоки данных (производственная мощность, выпуск продукции в натуральном выражении, товарная продукция, …, прибыль). Некоторым выделенным компонентам таких потоков ставят в соответствие “N-мерный” вектор S_t = (S_t1, S_t2, … S_tN) состояния (State) ТП, зависящий от дискретного времени Dt * t, где t = 0, 1, 2, … T, а Dt – основная единица времени существенного изменения состояния ТП (квант времени). Изменяющиеся во времени (в общем случае разнородные) переменные S_nt называют динамическими переменными ТП.

Не вдаваясь в иерархию внутренних и внешних связей ТП, их структуру описывают “M-мерным” вектором P_t = (P_t1, P_t2, … P_tM) внутренних и внешних (определяемых рынком) структурных параметров (Parameters), также изменяющихся со временем (например, себестоимость товарной продукции, численность персонала, …, рыночная цена товара, коэффициенты инфляции и налогообложения, и т.п.). Естественно, что «текущее» состояние ТП (состояние в данный “t-ый” момент времени) будет как функцией его внутренних и внешних структурных параметров, так и времени – S_t = F(P_t; t). Как правило, исследуют ТП со стационарной или квазистационарной структурой, у которых вектор структурных параметров либо не изменяется со временем, либо изменяется значительно медленнее вектора состояния.

Вектор состояния ТП возможно изменять с помощью дополнительного потока данных (управления), также связанного с материальными, финансовыми и информационными ресурсами. Этому потоку ставят в соответствие “L-мерный” вектор C_t = (C_t1, C_t2, … C_tL) управления (Control). Тогда текущее состояние ТО будет также зависеть и от вектора управления S_t = F(C_t; P_t; t).

В настоящем пособии рассматривается управление именно состояниями (S_t) ТП и не затрагивается управление их структурами (P_t).

В условиях неопределенности описания ТП вводят также “Q-мерный” вектор H_t = (H_t1, H_t2, … H_tQ) неконтролируемых возмущений или, так называемых, помех (Hindrances), действующих на ТП. Помехи могут непосредственно аддитивно воздействовать на структурные параметры ТП (H_t º dP_t, P_t Þ P_t + dP_t), поток управляющих данных (H_t º dС_t, С_t Þ С_t + dС_t), или же примешиваться к вектору его состояния (H_t º dS_t, S_t Þ S_t + dS_t). В общем случае возможно совместное воздействие помех на ТП в целом. Тогда текущее состояние ТП будет зависеть как от контролируемых, так и неконтролируемых величин S_t = F(C_t; P_t; t½H_t). Поскольку поток помех является случайным процессом, то и поток состояний ТП также условный случайный процесс – поток данных, обусловленный помехой, что отмечают знаком “½”.

Наконец, учитывают воздействие на текущий вектор состояния ТП входного потока, но определяемого его предшествующими векторами состояний. Такое воздействие образуется благодаря обратной связи, организуемой через другие объекты (внешнюю по отношению к рассматриваемому объекту рыночную среду). Например, если скалярная динамическая переменная S_t обозначает объем выпускаемой продукции в “t-ый” период времени, то в условиях ее реализации и расширенного воспроизводства (возврата в производство части вырученных средств) данный объем будет через накопление зависеть от объемов продукции S_t-1, S_t-2, … S_t-m, выпущенной в “m” предшествующих периодов. Возможно также учесть эффект временного запаздывания и у других введенных выше величин – аргументов функции F. Поэтому в самом общем случае получают многомерное динамическое уравнение состояния ТП, описывающее технологичекий процесс в виде разностной зависимости («m»-го порядка) с соответствующими начальными условиями S₀, C₀, P₀

S_t = F(S_t-1, S_t-2,…S_t-m; C_t, С_t-1, С_t-2,…C_t-m; P_t, P_t-1, P_t-2,…P_t-m; t½H_t),

S_t=0 = S₀, C_t=0 = C₀, P_t=0 = P₀ . (1.1.1)

Зависимость или оператор F может задаваться с помощью формул (полиномиальных, тригонометрических, показательных или иных аналитических функций), графиков или таблиц. Так, например, одномерное динамическое уравнение состояния линейного ТП в самом общем случае представляют линейным разностным уравнением:

S_t = + + H_t , (1.1.2)

где скалярные параметры a_k и b_k являются компонентами вектора P структурных параметров ТП.

Объекты, описываемые приведенными общими уравнениями, называют регрессионно-авторегрессионными объектами, или, кратко, РАР-объектами («m»-го порядка). Объекты, описываемые уравнениями частного вида

S_t = + H_t , S_t = + H_t , (1.1.3)

называют регрессионными объектами, или, кратко, Р-объектами («m»-го порядка). Второе уравнение описывает статический объект с «m» входами и одним выходом. Объекты, описываемые уравнением

S_t = + H_t , (1.1.4)

называют авторегрессиоными объектами, или, кратко, АР-объектами («m»-го порядка).

Для многих экономических задач при исследовании зависимости состояний ТП от непрерывного времени “t” и аналитическом задании функции Fдинамическое уравнение состояния задают в виде дифференциального уравнения первого порядка

dS(t)/dt = F[S(t); C(t); P(t); t½H(t)], (1.1.5)

эквивалентного разностному уравнению частного вида (первого порядка) S_t = F(S_t-1; C_t; P_t; t½H_t) при дискретном времени “t”.

С учетом принятых обозначений ТП можно рассматривать как функциональный или операционный элемент с P_t динамической структурой, рекуррентно (по шагам) преобразующий по закону F поток входных данных S_t-1, S_t-2,…S_t-m в поток выходных данных S_t при наличии управляющего потока C_t и помех H_t (рис. 1.1.2).

Рис. 1.1.2

Обобщая результаты раздела 1.1, можно сделать вывод о том, что состояние ТП – это совокупность таких переменных, знание которых, наряду с векторами управления и структурных параметров, а также уравнениями, описывающими динамику ТП, позволяют определять его будущее.

1.2. Траектории состояний технологических процессов.

При заданных управлениях и отсутствии помех временную динамику (эволюцию) состояний ТП можно изобразить графически с помощью серии N диаграмм (по числу скалярных величин вектора S_t), как показано на рис. 1.2.1.

Рис. 1.2.1

Как видно из рисунка, для разных управлений (C^* и C^**) будут реализованы различные траектории компонент вектора состояния ТП.

Диаграммы, подобные изображенным на рис. 1.2.1, широко используют в системах контроля качества продукции при входном (метод Тагучи) и выходном контролях изделий по выбранным параметрам их состояний.

При наличии помех и заданном управлении данные траектории характеризуют случайные процессы. На рис. 1.2.2 показаны отдельные реализации таких процессов, соответствующие серии опытов над ТП при одном и том же управлении C.

По рис. 1.2.1 и 1.2.2 видно, что, изменяя управление, возможно компенсировать нежелательное воздействие помех, т.е. формировать траектории компонент вектора состояния ТП в нужном «направлении».

Рис. 1.2.2

Другое наглядное представление динамики состояний ТП получают в, так называемом, фазовом пространстве состояний. Данное пространство образовано компонентами вектора состояний объекта, последовательность положений которого (во времени) образует фазовую траекторию. Фазовые траектории неявно зависят от времени. При наличии помех заданному управлению будет соответствовать серия траекторий, а при большом (теоретически бесконечном) числе опытов данная серия образует компактную трубку траекторий (рис. 1.2.3).

Рис. 1.2.3

Если при изменении управления изменяется форма трубки (как и отдельные траектории), а объект может быть переведен за конечное время T из одного (начального) состояния S₀ в другое заданное (конечное) S_T, то он считается управляемым. В общем случае невозможно изменять фазовую траекторию произвольным образом, поскольку существуют определенные ограничения на возможные совокупности значений компонент векторов состояний и управления. На рис. 1.2.3 такие ограничения на совокупность значений компонент вектора состояний показаны в виде областей (W₁, W₂, W₃), недоступных для этого вектора.

Выбор управления при наличии данных ограничений и некоторых дополнительных критериев (критериев качества управления) в условиях реальных помех и составляет основную задачу управления.

1.3. Оптимальные и условно-оптимальные управления

состояниями технологического процесса.

На рис. 1.3.1 показана схема взаимодействия ТП с внешней средой (другие ТП, рынок), а также принцип управления его состояниями.

Рис. 1.3.1

Как уже отмечалось, функционирование ТП и его взаимодействие с внешней рыночной средой описывают оператором F. Эволюция ТП происходит под контролем некоторой системы управления (технолога), на входе которой присутствует поток S^*_t задающего воздействия, представляющего собой некоторую плановую инструкцию (план) о том, какой должен быть поток состояний (фазовая траектория) объекта. Этот план должен конкретизировать цель управления, например, чтобы в идеальном случае удовлетворялось условие S_t = S^*_t. Причиной нарушения этого условия является рассмотренная выше помеха, порождаемая внешней средой, а также ограничением ресурсов управления.

Система управления реализует принцип обратной связи на основе коррекции потока состояний объекта в «сторону» плана по знаку и величине невязок – отклонений DS_nt = S_nt – S^*_nt компонент вектора состояний объекта. Критерий качества или целевой критерий управления оценивают с помощью вектора функционалов Á= (Á₁, Á₂, …Á_k … Á_K)– набора K чисел, зависящих от потока S_t состояний объекта, плана S^*_t, управления C_t, вектора P_t структурных параметров и времени t – Á_k = Á_k(S_t; S^*_t; C_t; P; t). Такие функционалы иногда называют траекторными, т.к. они непосредственно зависят от формы фазовых траекторий S_t, S^*_t ТО и плана. Например, критерий среднеквадратичного отклонения (СКО) или среднеквадратичной невязки

Á = СКО = , (1.3.1)

где коэффициенты g_n вводят для устранения различий в размерности разнородных компонент S_n. Например, при g_n = 1/(max_t S^*_nt)², Á – безразмерная величина. Иногда используют критерий, связанный со скоростью изменений невязок

Á = . (1.3.2)

Управление, основанное на критериях типа (1.3.1, 1.3.2) и поддерживающее состояние ТП на уровне заданного плана, называют регулированием.

Во многих технологических задачах используют траекторные функционалы Á_k = Á_k(S_t; C_t; P_t; t), не зависящие от плана, а определяемые лишь одними фазовыми траекториями S_t ТО. С помощью аналогичных функционалов выражают также ограничения на возможные значения величин компонент векторов управления и состояния объекта. Так, например, критерий

Á = (1.3.3)

выражает суммарные энергетические затраты на управление, если C_t(S_t; P_t; t) соответствует энергетическим затратам, связанным с конкретными структурой Pи траекторией S_t ТП.

Математически цель управления можно рассматривать как достижение экстремума (максимума или минимума) величины Á_k (критерий оптимальности). Для критерия среднеквадратичного отклонения необходимо, чтобы Á_k = min. По величине разности Á _k – Á _min или какой-нибудь монотонной функции этой разности, обращающейся в нуль при Á_k = Á_min, можно судить о качестве работы системы управления. Для относительно простых задач (малая размерность вектора состояния объекта) методом динамического программирования из уравнения Á _k = Á _min находят как оптимальное управление, так и план – оптимальную траекторию S^*_t .

Для функционалов, характеризующих ограничения, выдвигают требования Á_k £ 0. Большое количество экономических задач, связанных с задачами оптимизации при дополнительных ограничениях, решают с помощью математического программирования (линейного, целочисленного, нелинейного).

Сложность оптимального управления ТП заключается в том, что большинство реальных технологических задач связано не с одним, а многими целевыми критериями. В то же время, управление необходимо осуществлять в условиях неопределенности: наличии неизвестных помех H; при нестабильной внешней среде, когда изменяются структурные параметры P ТП и приоритеты выбранных критериев, а иногда и сами критерии. Большой класс задач составляют задачи, решаемые в условиях неопределенности, когда целевые функциональные критерии Á_k = Á_k(S_t; C_t; P_t | H_t) зависят от неизвестных помех H_t, т.е. сами являются неопределенными. В таких ситуациях практически бесполезно формировать оптимальное управление. Невозможно оптимизировать неизвестную величину!

В таких ситуациях обычно ограничиваются условно-оптимальным управлением, используя ряд целевых критериев и ограничений, зарекомендовавших себя на практике и связанных с отдельными финансовыми и материальными компонентами вектора состояния ТП. В зависимости от характера помех и условий возможны различные методы условно-оптимального управления. Так, например, критерий (1.3.1) квадратичного отклонения при наличии аддитивных случайных помех H_nt, когда S_tn = S^*_tn + H_tn, приводит к усредненному функционалу среднеквадратичного отклонения (СКО)

Á ^* = СКО = áÁ (S_t(C_t); S^*_t)ñ = (1.3.4)

= = .

Минимизация критерия (1.3.4) соответствует широко распространенному обобщенному методу (взвешенных) наименьших квадратов (ОМНК). Использование усредненных функциональных критериев приводит к условно-оптимальному управлению – управлению при условии «оптимальности в среднем» или иных ограничений.

Условно-оптимальное управление ТП рассматривается в Модуле 2.

1.4. Обобщенное структурное описание

технологических операций и процессов.

В любой пищевой технологии для обобщенного структурного описания технологических операций (ТОП) и ТП можно выделить шесть следующих основных структурных элементов (СЭ).

I. Средство воздействия (СВ) – некоторая ТОП, функционально предназначенная для количественного и качественного преобразования состояния материального объекта (или потока материальных объектов), например, перемещение, нагревание, механическая деформация, биохимическая реакция и т.п.

II. Сырье (СР) – исходный объект, подлежащий (потенциально) или преобразуемый средством воздействия. Например, рецептурные компоненты, необходимые для изготовления мясопродуктов.

III. Полуфабрикат (ПФ) – промежуточный продукт, являющийся результатом влияния СВ на СР.

Естественно, что в результате влияния СВ на ПФ может снова получиться ПФ.

IV. Продукт (ПР) – объект, являющийся результатом воздействия СВ на СР и ПФ.

Таким образом, ПФ и ПР причинно связаны между собой как два СЭ в хронологической последовательности ТОП. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать лишь один СЭ – ПР, считая, что он может выступать как в роли полуфабриката, так и конечного продукта.

V. Средство управления (СУ) – это материальное либо информационное воздействие, приводящее к целенаправленному функционированию СВ, например, команда на изменение температуры (информационное воздействие), добавление необходимого ингредиента в сырьевую смесь (материальное воздействие). Отсюда видна условность разделения управления на материальные и информационные воздействия: также можно сформулировать команду, описывающую количество добавляемого ингредиента в сырьевую смесь.

При более общем подходе к ТП в качестве СУ возможно также рассматривать и финансовые потоки в их денежном эквиваленте.

VI. Средство контроля (СК) – информационные показатели состояния ТП. Конкретные СК могут быть связаны с контролем параметров СВ, СР, ПФ, ПР.

С СК связано понятие наблюдаемости ТП. По существу, к СК относятся лишь те показатели ТП, которые могут быть оценены экспериментально с помощью инструментальных методов или органолептически.

Перечисленные выше СЭ носят векторный характер. Компоненты СР, ПР, СК являются составными частями вектора S состояния ТП, т.е. S = {ПР, СР, СК}. Тем самым, вектор состояния ТП формируется тройкой её основных СЭ. Компоненту СУ соответствует вектор C управления. СВ, включающему в общем случае несколько воздействий функционально разных типов, соответствует оператор F и вектор P структурных параметров.

В свою очередь, СУ также может быть структурно разделено, например, на рабочий орган, кинематический орган, энергетический орган. СУ может состоять из различных типов воздействия на конкретный СЭ, например, из изменения термического состояния, давления, влажности и т. п. Естественно, что СР может быть описано с помощью его основных компонентов, например, видов сырья.

Поэтому формально математически каждый структурный компонент ТП может быть представлен векторами:

СВ = {СВ₁, СВ₂, … СВ_N1}, (1.4.1)

СР = {СР₁, СР₂, … СР_N2},

……………………………., (1)

СУ = {СУ₁, СУ₂, …СУ_N5},

СК = {СК₁, СК₂, …СК_N6}.

При необходимости каждый компонент перечисленных выше векторов может быть детализирован, например i-й компонент СР_i сырья может быть разбит на j характеристик – СР_ij, где j = 1, 2, …, J. В этом случае описание СЭ носит тензорный (в приведенном случае матричный) характер. Так, например, для производства колбасных изделий используют сырье, состоящее из двух основных видов – говядины и свинины, при этом каждый из них разделяется, например, на 3 категории (сорта). В этом случае тензорное обозначение сырья выглядит как СР_ij, где i = 1, 2 (1 – говядина, 2 – свинина), а j = 1, 2, 3 (номера категорий)

СР = {СР₁₁, СР₁₂, СР₁₃, СР₂₁, СР₂₂, СР₂₃}. (1.4.2) (1.4.2) (2)

В дальнейшем, если это не является необходимым, не будет оговариваться векторный или тензорный характер описаний структурных элементов ТП. Однако, следует отметить, что совокупность, образованная списком {СВ, СР, ПФ, ПР, СУ, СК} из шести СЭ, составляет структурное описание любой ТОП.

Взаимодействие структурных элементов технологических

операций.

Приведенное выше структурное описание ТОП любого ТП представляет собой статическую картину его СЭ, наряду с которой существует и динамическая, отражающая возможные виды взаимодействия СЭ.

В физике и технике динамические взаимодействия СЭ исследуемых объектов, без детального раскрытия их временных характеристик, принято описывать с помощью метода диаграммной техники. По аналогии с этим методом введем диаграмму взаимодействия СЭ ТОП (рис. 1.4.1).

Приведенная на рис. 1.4.1 диаграмма отражает взаимодействие СЭ в виде их начальных и конечных состояний. В связи с этим, все начальные состояния потоков СР, ПФ, СУ будем изображать стрелками, направленными от данных СЭ к СВ, а их конечные состояния (результат взаимодействия) – стрелками, исходящими из СВ. Конечными (выходными) состояниями являются: продукт (ПР), сырьевые потери (СП), продуктовые потери (ПП), побочные продукты переработки сырья (ППС), средство контроля (СК).

Рис. 1.4.1

По существу, диаграмма 1.4.1 детализирует (декомпозирует) операторную модель ТОП.

В дальнейшем, в зависимости от степени детализации ТОП, могут быть использованы как её обобщенные, так и детализированные операторные модели.

В реально существующих технологиях любая ТОП сопровождается всевозможными помехами (H), которые можно отнести к любому из СЭ. Например, характеристики сырья могут быть подвержены неконтролируемым вариациям даже в пределах, установленных ГОСТом. Неконтролируемые вариации могут возникать и со стороны СВ (например, старение оборудования, кинематические люфты, ошибки обслуживающего персонала). Не детализируя причину и источник неконтролируемых вариаций, обозначим их на диаграмме в виде помех (ПМ), приведенных ко входу ТОП.

Если ТОП имеет все СЭ, указанные на рис. 14.1, то назовем её основной технологической операцией (ОТО).

Если ТОП имеет ПР º ПФ (здесь знак º соответствует тождеству) или ПФ º СР, то назовем её вспомогательной технологической операцией (ВТО).

Если в ТОП отсутствуют СЭ, такие как СП, ПП, ППС, ПР, то назовем её промежуточной технологической операцией (останов) (ПТО).

Черта «/» на стрелках диаграммы 1.4.1 означает векторный (тензорный) характер соответствующего СЭ. В схемах конкретных ТОП рядом с «/» будем ставить цифру, означающую число переменных СЭ.

Преобразование состояния «сырья» в состояние, соответствующее «продукту», можно осуществить при помощи одной или нескольких ТОП. Несколько ТОП будем называть технологическим процессом (ТП). ТП, состоящие из одной операции, будем называть «однооперационными», а состоящие из нескольких операций – «многооперационными».

В многооперационных ТП сами ТОП могут быть организованы во времени тремя способами: а) распределение ТОП во времени (или конвейерная связь); б) совмещение ТОП во времени (параллельная связь); в) комбинированное распределение ТОП во времени (комбинированная связь и обратная связь) (рис. 1.4.2).

Цифрами на рис. 1.4.2 обозначены ТОП, отличающиеся СВ.

a)

Б) в)

Рис. 1.4.2

Наличие обратной связи в ТОП позволяет организовать важный класс ТП (например, технология откорма свиней беконных пород может быть описана двумя циклически повторяемыми операциями откорма и выгула животных).

Описание ТП, опирающееся на комбинированное распределение ТОП, включая и обратную связь, назовем технологической системой (ТС). ТС адекватна технологии, если она обеспечивает гарантированное качество конечного продукта при заданных временных и ресурсных (в том числе, стоимостных) ограничениях.

ТС является структурной базой для дальнейшей формализации и построения математических (имитационных) моделей технологий. Подробное описание частных случаев ТС в виде операторных моделей приведено в учебнике Панфилова В.А «Теория технологического потока».

Формализация описаний технологических процессов.

Алгебраическоепредставление.

Исходя из описания динамики состояний ТП, их формальную математическую модель, например, для конвейерной организации с учетом основных СЭ можно обозначить в виде дискретно-разностного уравнения

ПР(t) = F₁[ПР(t–1), СР(t), СУ(t)½ПМ(t)], (1.4.3)

СК(t) = F₂[ПР(t), СР(t), СУ(t)½ПМ(t)], (3)

ПР(t = 0) = ПР₀, СР(t = 0) = СР₀, СУ(t = 0) = СУ₀,

где F₁ – векторная функция показателей характеристик продукции, а F₂ – векторная функция показателей средств контроля (продукции и сырья). Легко заметить, что каждое хронологически предшествующее состояние продукта является полуфабрикатом по отношению к его последующему состоянию, т.е. ПР(t–1) º ПФ(t–1).

Если функция F₁ описывает материальные процессы ТП, то функция F₂ описывает присущие ей информационные процессы.

При описании любой технологии обязательно должно присутствовать двуединое её материально - информационное описание. В противном случае, если присутствует лишь материальное описание, то технология будет ненаблюдаемой, что приведет к невозможности осуществления её адаптивного управления, под которым понимается целенаправленное изменение состояний технологий на основе их непрерывного контроля.

Конкретный вид векторной функции F₁ зависит от вида ТОП. Например, если ТОП соответствует операции смешивания компонентов СР, а управление заключается в добавлении (корректировке) рецептурной смеси с помощью различных ингредиентов (катализаторов/ ингибиторов), то уравнение (1.4.3) с учётом линейности математической модели принимает вид уравнений РАР-объектов

ПР(t) = a ПФ(t–1) + b СР(t) + g СУ(t) + ПМ(t), (1.4.4)

СК(t) = F₂[ПР(t), СР(t), СУ(t)½ПМ(t)], (4)

где a, b и g – матрицы (в частном случае, скалярные величины), составленные из структурных параметров ТП.

Конкретный вид векторной функции F₂ зависит от вида измерений, осуществляемых для данной ТОП. Однако во всех практических случаях её размерность, т.е. размерность СК, меньше размерности ПР и СР.

Траекторно-геометрическоепредставлениетехнологий.

Рассмотренные выше уравнения (1.4.3 и 1.4.4) являются алгебраическим представлением ТП, которым описывается состояние ТП в данный момент времени, что не позволяет взглянуть в целом на всю технологию в тактическом и стратегическом планах.

В связи с этим необходимо использовать формализм графического описания ТП в фазовом пространстве. С учетом новых обозначений СЭ фазовым пространством состояний технологических процессов (ФПСТП) будем называть многомерное евклидово пространство, образованное векторами ПР, СР, СК, в котором отображается динамика состояний ТП.

В ФПСТП текущее (в данный момент времени t) состояние ТП описывается вектором S_t = {ПР_t, СР_t, СК_t}, идущим из начала координат в заданную точку фазового пространства (рис. 1.4.3). Совокупность положений конца вектора S_t описывает траекторию (ТР) ТП в ФПСТП. Данная ТР соответствует определенным или детерминированным ТП.

В силу наличия неконтролируемых ПМ каждому заданному ТП будет соответствовать не единичная ТР, а их непрерывная совокупность, которая может быть отражена графически в виде трубки ТР (рис. 1.4.4).

Известно, что ПМ присущи любой реальной пищевой технологии. Важнейшей проблемой при этом является определение характера ПМ. Так, например, для любой конкретной технологии необходимо определить, является ли распределение ПМ в ФПСТП случайным (например, равномерным или нормальным), нечетким или вырожденным.

Рис. 1.4.3

Рис. 1.4.4

В случае равномерного распределения ПМ все ТР, изображенные на рис. 1.4.4, являются равновероятными.

При нормальном распределении ПМ выделяется одна наиболее вероятная (центральная) ТР (показана на рис. 1.4.4 жирной линией).

При нечетком распределении отсутствует информация о конкретном законе распределения ПМ. Обычно задают границы ТР и различные приближенные (феноменологические) модели распределения ПМ в ФПСТП (см. главу 2, раздел 2.3).

Вырожденное или дискретное распределение ПМ может носить многомодальный характер, при котором трубка ТР описывается конечным числом характерных ТР.

Конкретная форма ТР любого ТП непосредственно зависит от значений векторов управления СУ_t, прилагаемых в каждый момент времени «t». Иными словами, задание последовательности векторов управления СУ₁, СУ₂, … СУ_T при совокупности сопутствующих помех ПМ₁, ПМ₂, … ПМ_T приводит к образованию конкретной ТР, т.е. S₁, S₂, … S_T.

Теоретико-множественноепредставлениетехнологий.

Для каждого дискретного времени t (t = 1, 2,..., T) введем множества:

W _СР – множество состояний сырья (каждый элемент этого множества описывает совокупность исходных элементов сырья);

W _СВ – множество допустимых воздействий;

W _СУ – множество допустимых управлений;

W _ПР – множество состояний продукта;

W _СК – множество состояний контроля;

W _ПМ – множество помех;

W _СТ – множество наблюдаемых состояний технологии.

Из структурного анализа ТП и его формальной математической модели следует, что в отсутствие помех в каждый фиксированный момент времени множества базовых СЭ связаны зависимостью

W _ПР = W _СР ´ W _СВ ´ W _СУ, (1.4.5) (5)

где знак «´» — означает прямое произведение множеств.

Множества W _СР и W _СВ порождаются множествами совокупностей исходных элементов сырья и средств воздействий на эти элементы. В противном случае W _СР и W _СВ состояли бы из единичных элементов. В этом случае выражение (1.4.5) приняло бы вид W _ПР = 1 ´ 1 ´ W _СУ º W _СУ, что соответствует морфизму (однозначному соответствию допустимым управлениям состояний получаемого продукта).

С целью учета влияния ПМ на ТП следует дополнить выражение (1.4.5), введя прямое произведение соответствующих множеств

W _ПР = W _СР ´ W _СВ ´ W _СУ ´ W _ПМ. (1.4.6) (6)

Выражение (1.4.6) подразумевает влияние ПМ на ТП вне зависимости от их конкретного приложения к СР, СВ или СУ. Здесь ПМ приведены ко входу ТП. Выражение (1.4.6) можно рассматривать как теоретико-множественное отображение множества ПМ на множество состояний ПР через множества состояний СР, СВ и СУ. Это отображение может быть наглядно представлено диаграммой (рис. 5).

Рис. 1.4.5

Поскольку на практике множество состояний ПР возможно наблюдать лишь путем использования СК, то необходимо установить соотношение между W _СК и W _ПР.

Ясно, что в идеальном случае W _СК º W _ПР. Однако в реальной ситуации многие элементы W _ПР не наблюдаемы. Так, например, если аромат продукта, обусловленный наличием большого количества органических соединений, нельзя идентифицировать существующими для данного ТП датчиками, то мощность Ф (число элементов) W_СК будет меньше мощности W_ПР, т.е. F_СК < F_ПР.

Поэтому в самом общем случае можно считать, что

W _СК = j (W _ПР) = j (W_СР ´ W _СВ ´ W _СУ ´ W _ПМ), (1.4.7) (7)

где j – чёткая аналитическая или табличная функция отображения W _ПР в W _СК. Эта функция может отображать различные элементы W _ПР в один и тот же элемент W _СК.

Для наблюдаемых состояний ТП

W _СТ º W _СК. (1.4.8) (8)

Зададим для каждого из множеств (W_СР, W_СВ, W_СУ, W_ПМ) соответствующих СЭ количественные характеристики их неопределенностей – нечеткие меры или функции m_СР, m_ПМ, m_СУ, m_ПМ принадлежности соответственно. Тогда, в силу выражения (1.4.6), н