Теплоёмкости идеального газа

Так как теплота Q не является функцией состояния системы, а зависит от условий нагрева, то и молярная теплоёмкость С тоже зависит от условий нагрева: нагрев при V = const, нагрев при р = const или при других условиях. Таким образом, «теплоёмкость вообще» определённого значения для газа не имеет: в зависимости от условий нагрева, теплоёмкость С может принимать любое значение от 0 до ∞, и даже может быть отрицательной.

Рассмотрим два варианта нагрева идеального газа: при постоянном объёме и при постоянном давлении. Соответствующие этим условиям молярные теплоёмкости будем обозначать С_V и С_р:

, .

Вариант 1: V = const (газ нагревают в жёстком баллоне (рис. 3.1)).

Так как

dQ = (pdV + dU)_{V = const} = dU = (i/2)νRdT,

то

С_V =

(здесь берётся полная производная, так как U имеет единственный аргумент Т). Таким образом,

dU = νC_V dT, (3.9)

где ν = m/M – число молей газа, С_V = (i /2)R – молярная теплоёмкость при постоянном объёме. И тогда первый закон термодинамики для элементарных процессов можно записать в виде:

dQ = pdV + νC_VdT. (3.10)

Замечание.Уравнение (3.9) легко интегрируется:

U = νC_VT + U₀,

где U₀ – константа интегрирования, которая представляет собою внутреннюю энергию газа при Т = 0. Её можно положить равной нулю, так как при Т = 0 хаотического движения молекул нет (υ = 0). Таким образом, U₀ = 0, и внутренняя энергия идеального газа U = νC_V T (Дж).

Вариант 2: р = const (газ нагревают в цилиндре под тяжёлым поршнем (рис. 3.2)).

Так как

dQ = pdV + νC_V dT,

то

С_р = .

Но из уравнения состояния (3.3) при р = const следует, что

pdV = νRdT,

и тогда

С_р = С_V + .

Таким образом, С_р всегда больше С_V. Это объясняется тем, что при V = const тепло Q идёт только на нагрев газа, а при р = const – ещё и на совершение газом работы А при увеличении его объёма. Так как С_V =(i/2)R, то

С_р = С_V + R = .

Поскольку pdV = νRdT, то первый закон термодинамики теперь может быть записан не только в виде (3.10), но и в виде

dQ = pdV + νC_V dT = νRdT+ νC_V dT = νC_р dT.