Определение неизвестных при нескольких видах воздействий

При расчете статически неопределимой системы на несколько видов загружения (воздействий) для определения неизвестных (усилий в методе сил или перемещений в методе перемещений) можно пойти двумя путями:

– столько раз решать систему канонических уравнений, сколько задано воздействий или

– найти обратную матрицу, и тогда многократное решение системы уравнений не потребуется. Это приводит к существенному сокращению объема вычислений. Покажем, как это можно сделать на примере системы уравнений второго порядка.

(1)

Уравнения представим в матричной форме

Ах₊ b=0,

где A= , x= b= .

Решение системы уравнений (1) можно представить в виде

х = –А^–1 × b, (2)

где А^–1 –обратная матрица.

Покажем, как может быть получена матрица A^–1 , пользуясь, например, формулами Крамера

где

= = a₁₁b₂ – a₂₁b₁.

Откуда .

(3)

Проверим правильность решения,используя известное соотношение

АА^–1 = Е = .

В нашем примере получаем

AA = = = .

Решение выполнено верно.

Если загружений несколько, матрица Аостается неизменной, а две другие матрицы, например, в случае, когда загружений три, выглядят так:

x = , b = , (4)

где x_ik– искомые неизвестные, i – номер неизвестного, k – номер загружения ; b_ik – свободные члены, i – номер свободного члена.

Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получаем

= –