Пример расчета рамы методом перемещений

Расчетная схема рамы представлена на рис. 9.1, основная система – на рис. 9.2.

Перемещения Z₁ и Z₂ определяются из условия равенства нулю в дополнительных связях 1 и 2 . Эти условия записываются в форме канонических уравнений метода перемещений:

(9.1)

В первом уравнении написано, что реакция (момент) в первой связи равна 0, во втором – реакция (усилие) во второй связи равна 0.

9.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в стержнях основной системы, определяются по таблицам Приложения 1.

Определение r_ik

Схема деформирования и эпюра моментов от единичного смещения первой связи (поворот узла на Z₁ = 1) представлены на рис. 9.1.1 и 9.1.2 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.3, 9.1.4.

Схема деформирования и эпюра моментов от единичного смещения второй связи (линейное перемещение на Z₂ = 1) представлены на рис. 9.1.5 и 9.1.6 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.7, 9.1.8.

Определение r₁₁Определение r₂₁

Определение r₁₂Определение r₂₂

Определение свободных членов R₁ и R₂ от силового воздействия

Эпюра моментов в ОС от силового воздействия представлена на рис. 9.1.9. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.10, 9.1.11

Определение R₁_F Определение R₂_F

Определение свободных членов R₁ и R₂ от температурного воздействия

В начале найдем усилия в основной системе, возникающие в результате изменения длин стержней. Средняя температура по высоте поперечного сечения стержней 1–2, 2–3 и 3-4 равна , а в стержне 2-5 – . Приращения длин стержней определяются по формуле .

Схема деформирования и эпюра моментов от изменения длин стержней представлены на рис. 9.1.12 и 9.1.13 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.14, 9.1.15.

Определение R₁_t₀ Определение R₂_t₀

Далее найдем усилия, возникающие в результате искривлений стержней. Они вызываются температурной составляющей и определяются по таблице Приложения 1. Для стержней 1-2, 2-3 и 3-4 для стержня 2-5 . Эпюра моментов от искривления стержней представлена на рис. 9.1.16. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.17, 9.1.18.

Определение R₁_D_t Определение R₂_D_t

Эпюру (M_t) получаем как сумму:

(M_t) = (M_t₀)+(M_D_t) – рис. 9.1.19.

Полные значения реакций во введенных связях получаем также суммированием:

R₁_t = R₁_t₀ + R₁_D_t; R₂_t = R₂_t₀ + R₂_D_t .

Итак, R₁_t = –21,67aEJ;

R₂_t = (2,222 – 56,25)aEJ = –54,03aEJ.

Определение свободных членов R₁ и R₂ от кинематического воздействия

Здесь усилия в элементах основной системы определяются также по таблицам Приложения 1.

Сначала рассмотрим действие только S. Схема деформирования и эпюра моментов (M_S) представлены на рис. 9.1.20 и 9.1.21 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.22, 9.1.23.

Определение R₁_S Определение R₂_S

Теперь рассмотрим действие j. Схема деформирования и эпюра моментов (M_j) представлены на рис. 9.1.24 и 9.1.25 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 9.1.26, 9.1.27.

Определение R₁_j Определение R₂_j

Эпюру (M_D) получаем как сумму:

(M_D) = (M_S)+(M_j) – рис. 9.1.28.

Полные значения реакций во введенных связях получаем также суммированием:

R₁_D = R_1S + R₁_j; R_2t = R_2S + R₂_j.

Итак, R₁_D = (1,5 + 0,3333)×10^–2EJ =

= 1,8333×10^–2EJ;

R₂_D = –0,1667×10^–2EJ.

9.2. Определение неизвестных Z₁ и Z₂

Канонические уравнения в матричной форме имеют вид

AZ + B=0. (9.2.1)

В нашем примере

,

.

Таким образом уравнение (9.2.1) приобретает вид

Решение этого уравнения приведено в распечатке рабочей страницы Matlab (рис. 9.2.1).

Рис. 9.2.1

9.3. Построение эпюр, проверка решения, определение перемещений от силового воздействия

Построение эпюр

Построение окончательной эпюры (М)^F представлено на рис. 9.3.1–9.3.3.

(M)^F = (M₁)×Z₁ + (M₂)×Z₂ + (M_F)

Z_1F = 3,356/EJ, Z_2F = 73,82/EJ.

Окончательные эпюры (Q)^Fи(N)^F представлены на рис. 9.3.4, 9.3.5.

Кинематическая проверка

Найдем вертикальное перемещение узла 3 (рис. 9.3.6), которое по условию должно быть равно нулю.

Проверка равновесия рамы в целом

Определение перемещений сечения k

Линейное перемещение d_kF

Единичная эпюра (M₁)_d в основной системе метода сил для определения линейного перемещения сечения k представлена на рис. 9.3.8.

Угол поворота q_kF

Единичная эпюра (M₁)_q в основной системе метода сил для определения угла поворота сечения k представлена на рис. 9.3.9.

Построение деформированной схемы рамы

Деформированная схема рамы представлена на рис. 9.3.10.

9.4. Построение эпюр, проверка решения, определение перемещений от температурного воздействия

Построение эпюр

Построение окончательной эпюры (М)^t представлено на рис. 9.4.1–9.4.3.

(M)^t = (M₁)×Z_1t + (M₂)×Z_2t + (M_t)

Z₁_t = 32,29a, Z₂_t = 580,2a.

Окончательные эпюры (Q)^tи(N)^t представлены на рис. 9.4.4, 9.4.5.

Кинематическая проверка

Найдем относительное вертикальное перемещения концов стержней, сходящихся в узле 3 (рис. 9.4.6, 9.4.7), которое по условию должно быть равно нулю.

Это перемещение определяется по формуле:

Проверка подтверждает правильность решения.

Проверка равновесия рамы в целом

Определение перемещений сечения k

Линейное перемещение d_kt

Единичная эпюра (M₁)_d в основной системе метода сил для определения линейного перемещения сечения k представлена на рис. 9.3.8. Для определения полного линейного перемещения необходимо в дополнение к эпюре (M₁)_d построить эпюры (M) и (N) от единичной вертикальной силы, приложенной в сечении k. В данном случае это приводит к появлению только продольной силы, показанной на эпюре (N₁)_d.

Знак (–) означает, что перемещение сеч. k происходит вверх. Таким образом, полное линейное перемещение:

.

Угол поворота q_kt

Единичная эпюра (M₁)_q для определения угла поворота сечения k представлена на рис. 9.3.9.

Поскольку в данном случае и , получаем:

.

Построение деформированной схемы рамы

Деформированная схема рамы представлена на рис. 9.4.10.

9.5. Построение эпюр, проверка решения, определение перемещений от кинематического воздействия

Построение эпюр

Построение окончательной эпюры (М)^D представлено на рис. 9.5.1–9.5.3.

Окончательные эпюры (Q)^Dи(N)^D представлены на рис. 9.5.4, 9.5.5.

Кинематическая проверка

Найдем относительное вертикальное перемещения концов стержней, сходящихся в узле 3 (рис. 9.4.6), которое по условию должно быть равно нулю.

Это перемещение определяется по формуле:

.

Проверка подтверждает правильность решения.

Проверка равновесия рамы в целом

Определение перемещений сечения k

Линейное перемещение d_k_D

Единичная эпюра (M₁)_d в основной системе метода сил для определения линейного перемещения сечения k представлена на рис. 9.3.8. Полное линейное перемещение равно горизонтальному перемещению сеч. k, поскольку продольная деформация стойки 2-5 не учитывается.

В данном случае перемещения определяются по формуле:

.

Угол поворота q_kt

Единичная эпюра (M₁)_q для определения угла поворота сечения k представлена на рис. 9.3.9.

Построение деформированной схемы рамы

Деформированная схема рамы представлена на рис. 9.5.7.

10. Контрольные вопросы по методу перемещений

1. Метод перемещений. Как Вы понимаете идею метода перемещений?

2. Что принимается за неизвестные метода перемещений? Что такое основная и эквивалентная системы метода перемещений?

3. Как найти степень кинематической неопределимости?

4. Как определяются свободные члены канонических уравнений метода перемещений способом «перемножения эпюр»?

5. Как определяются свободные члены при расчете на температурные воздействия? Покажите на примере.

6. Как определяются свободные члены при расчете на заданные смещения? Покажите на примере.

7. Физический смысл и особенности канонических уравнений метода перемещений.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 96;

Поиск по сайту