Расчет балки методом перемещений, Исходные данные, схемы балок

Для одной из заданных схем балок, изображенных на рис. 6.1–6.24 требуется:

a) изобразить расчетную схему, основную систему и эквивалентную системы;

b) изобразить основную систему, деформированную единичным и заданными воздействиями. Показать на этих рисунках величины, входящие в канонические уравнения;

c) построить эпюры внутренних силовых факторов, возникающих от нагрузки, изменения температуры и заданного смещения опор;

d) найти линейное и угловое перемещения сечения k при всех трех воздействиях;

e) изобразить балку, деформированную каждым из трех воздействий отдельно.

Принять: жесткость балки EI, высоту поперечного сеченияh = 0,1 L, коэффициент теплового расширения α – постоянными по длине балки; жесткость податливых связей равной k = EI/L³ (податливость – l = L³/EI), φ = ∆/L. Другие данные принять по табл. 6.1.

Таблица 6.1

7. Пример расчета балки методом перемещений

Расчетная схема балки представлена на рис. 7.1, основная система – на рис. 7.2.

B

В качестве неизвестных здесь приняты: Z₁ – угол поворота узла B и Z₂ – вертикальное перемещение этого узла. Они определяются из условий равенства нулю реакций в дополнительных связях 1 и 2 , которые записываются в форме канонических уравнений метода перемещений:

(7.1)

В первом уравнении написано, что реакция (момент) в первой связи равна 0, во втором – реакция (усилие) во второй связи равна 0.

7.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в стержнях основной системы, определяются по таблицам Приложения 1.

Определение r_ik

Схема деформирования и эпюра моментов от единичного смещения первой связи (поворот узла на Z₁ = 1) представлены на рис. 7.1.1 и 7.1.2 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 7.1.3, 7.1.4.

Определение r₁₁ Определение r₂₁

B

Схема деформирования и эпюра моментов от единичного смещения второй связи (линейное перемещение на Z₂ = 1) представлены на рис. 7.1.5 и 7.1.6 соответственно. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 7.1.7, 7.1.8.

Определение r₁₂ Определение r₂₂

B

Определение свободных членов R₁ и R₂ от силового воздействия

Эпюра моментов в ОС от силового воздействия представлена на рис. 7.1.9. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 7.1.10, 7.1.11.

Определение R_1F Определение R_2F

B

Определение свободных членов R₁ и R₂ от температурного воздействия

Эпюра моментов в ОС от температурного воздействия представлена на рис. 7.1.12. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 7.1.13, 7.1.14.

Определение R_1t Определение R_2t

B

Определение свободных членов R₁ и R₂ от кинематического воздействия

Эпюра моментов в ОС от кинематического воздействия представлена на рис. 7.1.15. Схемы определения реакций во введенных связях – на рис. 7.1.16, 7.1.17.

Определение R_1D Определение R_2D

B

7.2. Определение неизвестных Z₁ и Z₂

Запишем канонические уравнения (7.1) в матричной форме

A×Z+B = 0, (7.2.1)

где

.

Таким образом, уравнение (7.2.1) приобретает вид

Решение этого уравнения приведено на рис. 7.2.1 в распечатке рабочей страницы Matlaba.

Рис. 7.2.1

Получено:

7.3. Построение эпюр, проверка решения, определение перемещений от силового воздействия

Построение эпюр

Построение окончательных эпюр (М)^F и (Q)^F представлено на рис. 7.3.1–7.3.4.

(M)^F = (M₁)Z_1F + (M₂)Z_2F + (M_F).

.

Кинематическая проверка

Проверка подтверждает правильность решения.

Найдем взаимный угол поворота сечений в узле B (рис. 7.3.5), который по условию должен быть равен нулю.

Проверка равновесия балки в целом

Определение перемещений сечения k

Вертикальное перемещение d_kF