Расчет рамы методом сил. Исходные данные, схемы рам

Для одной из заданных схем рам, изображенных на рис. 3.1–3.24 требуется:

a) изобразить расчетную схему, основную и эквивалентную системы;

b) изобразить основную систему, деформированную единичными и заданными воздействиями. Показать на этих рисунках перемещения, входящие в канонические уравнения;

c) построить эпюры внутренних силовых факторов, возникающих от нагрузки, изменения температуры и заданного смещения опор;

d) сделать статические и кинематические проверки полученных решений;

e) найти полное линейное и угловое перемещения сечения k при всех трех воздействиях;

f) изобразить раму, деформированную каждым из трех воздействий отдельно.

Принять: изгибную жесткость стоек рамы равной EI, жесткость горизонтальных элементов и нижних частей стоек в схемах на рис. 3.16 и 3.18 равной 2EI;высоту поперечного сечения h = 0,1 L, коэффициент теплового расширения a – одинаковыми для всех стержней; центр тяжести поперечного сечения – в середине его высоты, j = D/2L. Другие данные принять по табл. 3.1.

Таблица 3.1

4. Пример расчета рамы методом сил

Расчетная схема рамы представлена на рис. 4.1, основная и эквивалентная системы – на рис. 4.2, 4.3 соответственно.

Силы X₁ и X₂ определяются из условий отсутствия взаимного перемещения концов стержней, сходящихся в шарнире (узел 2). Эти условия записываются в форме канонических уравнений метода сил:

(4.1)

В первом уравнении написано, что перемещение по вертикали, а во втором – по горизонтали равны нулю.

Свободные члены уравнений D₁ и D₂ определяются от каждого воздействия отдельно.

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Определение d_ik

Вид деформированной основной системы от единичных воздействий представлен на рис. 4.1.1 и 4.1.2, эпюры (М₁) и (М₂) – на рис. 4.1.3, 4.1.4 соответственно.

Проверка правильности вычисления коэффициентов выполняется с помощью суммарной единичной эпюры (М_S), представленной на рис. 4.1.5.

Определение свободных членов D₁ и D₂ от силового воздействия

Вид деформированной основной системы от силового воздействия представлен на рис. 4.1.6, эпюры (М_F) – на рис. 4.1.7.

Проверка правильности вычисления коэффициентов выполняется с помощью суммарной единичной эпюры (М_S), представленной на рис. 4.1.5.

D_1F и D_2F вычислены верно.

Определение свободных членов D₁ и D₂ от температурного воздействия

Вид деформированной основной системы от температурного воздействия представлен на рис. 4.1.8, единичные эпюры (N₁) и (N₂) – на рис. 4.1.9, 4.1.10 соответственно.

В этом случае формула для определения перемещений имеет вид:

В нашем примере получаем:

Определение свободных членов D₁ и D₂ от кинематического воздействия

Вид деформированной основной системы от кинематического воздействия представлен на рис. 4.1.11.

В этом случае формула для определения перемещений имеет вид:

В нашем примере получаем:

4.2. Определение неизвестных усилий X₁ и X₂

Чтобы найти эти силы необходимо решить систему уравнений (4.1), которую для краткости запишем в матричной форме:

(4.2.1)

где

Матрица B и, как следствие, матрица X зависят от вида воздействия, в то время как матрица A остается неизменной.

Для решения уравнения (4.2.1) можно пойти следующими путями.

1. Троекратное решение системы уравнений второго порядка (поскольку в нашем примере три вида нагружений).

Так, при действии нагрузки матрица B имеет вид:

и тогда уравнение (4.2.1) будет таким

Перемножив матрицы A и X, после упрощений получаем

Решив эту систему уравнений, находим:

При температурном воздействии:

уравнение (4.2.1) получает вид

Откуда

Решив систему, находим:

При расчете на смещения S и j:

Уравнение (4.2.1) получает вид

Откуда

2. Можно избежать троекратного решения системы уравнений, если воспользоваться матрицей A^–1, обратной матрице A (см. Приложение 2).

Неизвестные в этом случае находятся по формуле (2) Приложения 2:

здесь

Следовательно

Получаем .

Откуда, после перемножения матриц, находим неизвестные

3. Если использовать возможности математической системы Matlab никакие вычисления "вручную" не потребуются.

Запишем уравнение AX + B = 0 в развернутом виде, умножив его на .

Или в десятичных дробях

Обозначим и

Теперь обращаемся к Matlab и получаем X (рис. 4.2.1).

Рис. 4.2.1

Чтобы получить эту матрицу в окончательном виде вспомним, что первый ее столбец имеет множитель qL, второй – , а третий – . Заметим, кроме того, что , а .

Итак,

Незначительные расхождения в результатах объясняются погрешностями ручного счета.

4.3. Построение эпюр, проверка решения, определение перемещений от силового воздействия

Построение эпюр

Построение окончательной эпюры (М)^F, т.е. эпюры моментов, возникающих от нагрузки q, представлено на рис. 4.3.1–4.3.4.

Чтобы построить эпюру (Q)^F найдем поперечные силы в каждом стержне отдельно (рис. 4.3.5–4.3.7).

Окончательная эпюра (Q)^F представлена на рис. 4.3.8.

Когда поперечные силы найдены, из условий равновесия узлов рамы определяются продольные силы (рис. 4.3.9, 4.3.10).

Окончательная эпюра (N)^F представлена на рисунке 4.3.11.

Кинематическая проверка

Найдем угол поворота сечения на левой опоре (рис. 4.3.13), который по условию должен быть равен нулю.

Проверка равновесия рамы в целом (рис. 4.3.13)

Условия равновесия выполняются.

Можно сделать и другие статические проверки, например равновесие части рамы, равенства нулю изгибающего момента в шарнире (узел 2) и т.п.

Определение перемещений сечения k

Линейное перемещение d_kF

МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ