Алгебраические системы. Булевы алгебры

Определение 7.1. Множество M с заданными на нём операциями и отношениями называется алгебраической системой. При этом M называется основным множеством системы, а множество символов, используемых для обозначения определённых на M операций и отношений называется сигнатурой алгебраической системы.

Алгебраическую систему с основным множеством M и сигнатурой , состоящий из символов операций f_i арностей n_i и отношений R_j арностей m_j, обозначают в виде M( ), или подробнее M( ). При этом набор натуральных чисел <n₁, …, n_k; m₁, …, m_l> называется типом алгебраической системы M( ). Если на алгебраической системе определены только операции, то она называется алгеброй. Если на алгебраической системе только отношения, то она называется моделью.

Пример 7.2. N(+, *; =, <) — алгебраическая система.

Пример 7.3. N(+, *) — алгебра.

Пример 7.4. N(+, <) — модель.

Пример 7.5. Алгебрами являются полугруппы, группы, кольца, поля и т.д.

В математической логике особую роль играют так называемые булевы алгебры.

Определение 7.6. Булевой алгеброй называется множество B с двумя бинарными операциями « », « », и одной унарной операцией «¢» и двумя нуль-арными операциями (т.е. выделенными элементами) 0, 1, удовлетворяющими условиям (при любых ):

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. .

Несложно показать, что из условий 1-12 следуют равенства:

, , , ,

, .

Например, выведем из условий 1-12 равенство :

.

Элементы 0 и 1 булевой алгебры B называют её нулём и единицей. Иногда их обозначают в виде 0_B и 1_B.

Пример 7.7. Пусть 2^M — обозначение множества всех подмножеств множества M, — бинарная операция пересечения множеств, — бинарная операция объединения множеств. Для A M обозначим A¢ = M\A, A¢ — дополнение множества A. «¢» — унарная операция, и M – нуль-арные операции, играющие роль 0 и 1. Тогда 2^M( , , , M) — булева алгебра.

Пример 7.8. Пусть M — множество всех положительных делителей числа m, равного произведению некоторых различных простых чисел. Определим операции « », « » и «¢» следующим образом: для любых M положим , , . Число 1 M играет роль нуль-арной операции 0. Число m M играет роль нуль-арной операции 1. Тогда M( , , ¢, 1, m) — булева алгебра.

Определение 7.9. Пусть — бинарное отношение на на M. Бинарное отношение на множестве M называется отношением частичного порядка (или просто отношением порядка), если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично. Отношение частичного порядка r на М называется отношением линейного порядка, если для любых x, x¢ Î M либо xr x¢, либо x¢r x. Отношение порядка обозначается через « ». Если и , то пишут .

Множество M с заданным на нём отношением частичного или линейного порядка « » называется, соответственно, частично или линейно упорядоченным множеством.

В некоторых случаях при изучении частично упорядоченных множеств используются их геометрические изображения — диаграммы. При построении диаграмм частично упорядоченного множества M( ) различные элементы из M отождествляются с различными точками плоскости так, что:

точка лежит левее (или ниже) точки , если ;

точка соединяется отрезком с отличной от неё точкой , если и не существует точки , отличной от a, b, удовлетворяющей условию (в этом случае говорят, что b непосредственно следует за a или a непосредственно предшествует b).

Пример 7.10. M = 2^{{1, 2, 3}}.

Положим для любых A, B M, . Тогда диаграмма для M( ) представляется рис.7.1.

Рис.7.1

Пример 7.11. M = { }.

Положим a b «натуральное число a» «натурального числа b». Тогда диаграмма для M( ) имеет вид, показанный на рис.7.2.

							n – 1		n

Рис.7.2

Пример 7.12. M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Положим a b a | b для любых a, b M. Тогда диаграмма для M( ) имеет вид (рис.7.3).

Рис.7.3

Интересно отметить связь булевых алгебр с частично упорядоченными множествами.

Пусть B — произвольная булева алгебра. Для произвольных элементов a, b B положим a b a b = b.

Из условий 6.4.2 следует, соответственно, что так определённое отношение « » на B рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. В итоге имеем частично упорядоченное множество B( ). Диаграмма для B( ) называется диаграммой булевой алгебры B. Таким образом на рис.7.1 изображена диаграмма булевой алгебры всех надмножеств множества {1, 2, 3}.