Тема 3. Математическая основа географических карт. Понятие о форме и размерах Земли

План:

1. Геодезическая основа карт.

2. Первые градусные измерения Земли

3. Метод триангуляции.

4. Понятие о масштабе. Виды масштабов.

5. Картографическая проекция.

Математическая основа географических карт включает в себя геодезическую основу, масштаб и картографическую проекцию. Математическая определенность карт предполагает установление строгой функциональной зависимости между географическими координатами точек земной поверхности и прямоугольными координатами тех же точек на карте. Такое построение географической карты как бы включает 3 действия для перехода от физической поверхности Земли к ее изображению на плоскости.

Первое действие. Проектирование физической (топографической) поверхности, имеющей сложный рельеф, множество объектов и явлений, на условную более простую поверхность.

Второе действие. Уменьшение этой условной поверхности до масштаба проектируемой карты и получение таким образом модели Земли.

Третье действие. Разворачивание уменьшенной в масштабе модели Земли на плоскость.

Определение общего вида и размеров Земли - одна из основных научных задач геодезии и картографии, т.к. знание формы и размеров дает возможность точно определять на поверхности Земли положение геодезических пунктов, являющихся основой топографических съемок и карт.

Первая задача – определить форму или фигуру Земли.

Самые ранние предположения о том, что Земля круглая высказывал еще Аристотель в ΙV веке до новой эры. В начале 18 века Исаак Ньютон высказал предположение о том, что в силу вращения вокруг оси Земля не шар, а эллипсоид вращения, слегка сплюснутый с полюсов. Поэтому длина 1º дуги меридиана на всем его протяжении неодинакова – у полюсов кривизна дуги меньше и длина градуса должна быть больше, а у экватора наоборот – кривизна больше, а дуга меньше. Для проверки этого смелого предположения Французская академия наук организовала экспедиции в Перу и в Лапландию для проведения точных измерений 1º дуги меридиана в приэкваториальных и приполярных широтах. Результаты экспедиций подтвердили правильность предположений Ньютона. Современными учеными было измерено, что 1º дуги меридиана у полюса составляет 111 км 695 м, а у экватора 110 км 583 м.

Земля как планета не имеет правильной геометрической формы. Физическая (топографическая) поверхность Земли – это поверхность земной коры на суше и на дне морей и океанов. На ней производятся все топографические работы, именно она изображается на картах и планах. Топографическая поверхность весьма сложна и трудно поддается математическому выражению, ее проектирование производится по нормалям на условную (теоретическую) поверхность, за которую принимают уровенную поверхность – это поверхность воды Мирового океана в спокойном состоянии, мысленно продолженная под материками, перпендикулярная во всех своих точках отвесным линиям (рис. 1).

нормаль физическая поверхность Земли

уровенная поверхность

эллипсоид вращения

Рис. 1. Физическая и теоретические поверхности Земли

Эта поверхность, более сглаженная по сравнению с физической, и имеет очень плавные повышения и понижения. Фигуру Земли, ограниченную уровенной поверхностью, называют геоидом (т.е. подобная Земле).

Но и форма геоидадовольно сложная и точно описать ее математическими уравнениями трудно. Поэтому в картографии ее заменяют близкой по форме, но более простой геометрической фигуры - поверхностью эллипсоида вращения. Эллипсоид – это геометрическая фигура, образованная вращением эллипса вокруг его малой оси (рис. 2).

Северный Ледовитый океан

Геоид 90º Азия

Эллипсоид

0º 0 0º

Атлантический океан Тихий океан

90º

Антарктида

Рис. 2. Меридиональное сечение геоида и земного эллипсоида

В разных странах для выполнения картографических вычислений принимаются разные эллипсоиды, рассчитанные для территории конкретной страны, поэтому их размеры несколько отличаются (таблица приведена в методичке). Земной эллипсоид, принятый в данной стране для геодезических работ и составления карт, называется референц-эллипсоидом.

В России принят референц-эллипсоид Федора Николаевича Красовского, вычисленный этим ученым в 1940 году в результате использования астрономо-геодезических и гравиметрических измерений, произведенных на территории СССР, стран Западной Европы и Северной Америки, параметры эллипсоида Красовского таковы:

- большая полуось (а) (экваториальный радиус) = 6 378 км 245 м;

- малая полуось (в) (полярный радиус) = 6 356 км 863 м;

- разность полуосей а-в=21 км 382 м;

- сжатие (а-в):а+1:298,3.

Вычисление и уточнение размеров земного эллипсоида продолжается и в настоящее время. Теперь для этого используются спутниковые наблюдения и точные гравиметрические измерения.

Не только размеры, но и принятое положение эллипсоида относительно геоида различно в разных странах. Точка, в которой нормаль к эллипсоиду совмещена с отвесной линией к геоиду считается началом плановых координат, в разных странах оно также разное. У нас в стране за начало плановых координат принят центр круглого зала главного здания Пулковской обсерватории, а за начало высот – уровень Балтийского моря по футштоку, вынесенному на мыс Шепелев в Финском заливе.Размеры земного эллипсоида и принятое начало координат составляют геодезическую основу карт, о которой зависит положение точек земной поверхности, изображаемых на картах.

Вторая задача – определение размеров Земли.

Первые попытки измерения размеров Земли уходят корнями в глубокую древность. Но впервые наиболее точно определил размеры Земли древний ученый астроном и географ Эратосфен – глава Александрийской библиотеки. Он был знаком с учением Аристотеля о шарообразности Земли. Он узнал от купцов, что в городе Сиене, расположенной на широте северного тропика, один раз в году в день летнего солнцестояния (22 июня) лучи Солнца падают отвесно и достигают дна самых глубоких колодцев. А в Александрии, на берегу Средиземного моря, где он проживал и которая находилась почти на той же долготе, что и Сиена, но севернее, в этот же день Солнце не находится в зените и все предметы дают тень. Исходя из такого сравнения. он сделал предположение о том, что т.к. лучи Солнца идут к Земле издалека, то они параллельны друг другу. Достигнув Земли, лучи падают на земную поверхность в Сиене отвесно, а в Александрии под некоторым углом, значит, эти города расположены не на плоскости, а на дуге окружности, т.е. Земля не плоская, а шарообразная!

Для проведения измерений окружности Земли Эратосфен сконструировал чашу скафис, в центре которой поставил вертикальный стержень, а по дну чаши от центра к краю нанес градусные деления. Этот прибор позволил измерить центральный угол и стягивающую его дугу меридиана между Сиеной и Александрией. 22 июня в полдень Эратосфен измерил в Александрии величину угла отбрасываемой стержнем тени, который составил 7,2º, что составляет 1:50 часть окружности (360º). В Сиене в этот момент времени тени от стержня не было.

Нормаль

г. Александрия

Стягивающая дуга Лучи Солнца

Центральный угол г. Сиена

Центр Земли

Рис. 3. Вычисления стягивающей дуги меридиана.

Расстояние от Сиены до Александрии Эратосфен определил приблизительно, по времени прохождения караваном верблюдов этого пути, оно составило 5 000 стадий (1 египетская стадия равна примерно 158 метрам) или 790 км. Таким образом, если 790 км составляют 7,2º и составляют 50 часть от окружности, следовательно, 790х50=39 500 км – это длина окружности Земли, рассчитанная Эратосфеном в ΙΙΙ тысячелетии до новой эры. По современным данным окружность Земли составляет 40 000 км. Радиус Земли, вычисленный Эратосфеном – 6320 км, современные данные – 6371 км. Таким образом, метод Эратосфена дал весьма точные результаты.

Вместе с тем, линейные измерения больших расстояний на Земле долго оставались слабым местом геодезии. Положение изменилось только в 17 веке, когда в 1616 г. голландский ученый Снеллиус произвел первые градусные измерения на основе изобретенного им способа триангуляции. Метод триангуляции позволил вычислить длины дуг меридианов и определить координаты пунктов геодезической сети. К этому же времени была изобретена мензула. Все это создало предпосылки для создания более точных карт, построенных на строгой геодезической основе.

Геодезическая опорная сеть – это совокупность точек на земной поверхности, положение которых (географические координаты и абсолютные высоты) точно определено. Такие точки называются опорными геодезическими пунктами, их оборудуют на возвышенных местах для хорошего обзора. Внешне они выглядят в виде деревянных ажурных вышек – геодезических знаков (сигналов и пирамид). В центре геодезического знака на определенной глубине в землю заложен бетонный монолит с индивидуальным номером, который в специальных геодезических справочных таблицах соответствует этой точке и имеет определенные координаты. Геодезическая сеть создается по принципу «от общего к частному». То есть сначала строится довольно редкая сеть пунктов, координаты которых определяются с самой высокой точностью (пункты 1 класса), а затем эта сеть сгущается пунктами, положение которых определяется уже с меньшей точностью (пункты 2 класса) и так далее (пункты 3 и 4 классов). Плановая государственная геодезическая сеть создается методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации.

Метод триангуляции заключается в том, что на местности размещают и закрепляют геодезические пункты, являющиеся вершинами треугольников. В первом треугольнике с высокой точностью измеряется одна сторона – базис и все внутренние углы. По этим измерениям вычисляются (по теореме синусов) длины остальных сторон. Затем во втором примыкающем к первому треугольнике также измеряют все углы и, используя вычисленную ранее длину общей с первым треугольником стороны, получают длины сторон второго треугольника. Зная точные координаты одной из начальных точек, по вычисленным сторонам и измеренным углам вычисляют тригонометрическим путем расстояния и координаты остальных точек. Длина сторон треугольников 1 класса не менее 20 км, углы измеряют с ошибкой не более ±0,7´.

А

А и В – астрономические пункты

В Пункты 1 класса

Пункты триангуляции на топографических картах обозначают треугольником с точкой в центре и отметкой высоты точки. Звено триангуляции 1 класса – это расстояние между парами астрономических пунктов, оно может быть не более 200 км. Такие звенья из треугольников 1 класса строятся вдоль параллелей и меридианов и составляют полигон внутри которого проводится триангуляция 2, 3,и 4 классов (метод сгущения).

При полигонометрии строят сети ломаных ходов, в которых измеряют все углы и стороны. Этот метод применяется обычно в закрытой местности (залесенной, застроенной), где видимость между пунктами затруднена. Ходы прокладываются вдоль дорог, по долинам рек; они в совокупности образуют замкнутые многоугольники (полигоны). По координатам начальной точки и дирекционному углу первой стороны хода вычисляют положение второй точки, а затем и всех последующих пунктов хода.

Трилатерация по сути сходна с триангуляцией, но отличается тем, что в треугольниках измеряют не углы, а стороны. Все три стороны треугольника измеряют с помощью дальномеров с высокой точностью. А затем вычисляют местоположение точек вершин треугольников.

Высотная геодезическая сеть, т.е. абсолютные высоты точек, создается путем нивелирования, проводимого высокоточными приборами.

Международным сообществом за начальный (нулевой) меридиан был принят меридиан Гринвича под Лондоном. В настоящее время данные для создания географических карт получают благодаря спутниковой геодезии.

Вторым элементом математической основы географических карт является масштаб. Масштаб – это степень уменьшения длины линии на карте по отношению к горизонтальной проекции этого расстояния на земной поверхности. На картах масштаб чаще всего указывается в трех видах.

Численный масштаб – это дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, показывающее степень уменьшения: М=а:А. Так на карте масштаба 1:50 000 длины уменьшены по сравнению с из горизонтальными проекциями в 50 000 раз.

Именованный масштаб – пояснение к численному, которое показывает какая величина на местности соответствует 1 см на карте. При численном масштабе 1:50 000 1 см на карте соответствует 500 м на местности.

Линейный масштаб – это графическое построение в виде линейки, разделенной на равные отрезки (основания) с подписями величины основания, обозначающими соответствующие расстояния на местности. Линейный масштаб предназначен для измерения длин линий на карте и одновременного перевода их в натуральную величину. Для повышения точности измерений крайнее левое основание делят на равные отрезки, называемые наименьшими делениями, расстояние на местности, соответствующее 1 наименьшему делению называется точностью линейного масштаба. Расстояние на местности, соответствующее 0,01 см в масштабе конкретной карты называется предельной точностью масштаба (ПТМ). Для масштаба 1:50 000 ПТМ равна 5 метрам. ПТМ – это физиологический предел возможности нормального человеческого зрения.

Важным элементом математической основы карты является картографическая проекция – это математический способ перенесения координатной сетки параллелей и меридианов с боковой поверхности глобуса или земного эллипсоида на плоскость. В результате создания картографической проекции устанавливается аналитическая зависимость (соответствие) между географическими координатами точек эллипсоида и прямоугольными координатами тех же точек на плоской карте.

Значение элементов математической основы карты состоит в том, что точки земной поверхности, будучи спроектированными на земной эллипсоид, приобретают определенные географические координаты – широту и долготу. Их значения связаны с тем, какие меридианы и параллели пересекаются в данной точке.

• Меридиан – это условная линия сечения поверхности земного эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось суточного вращения Земли. Меридианы представляют собой полуокружность, сходящиеся в полюсах Земли.

• Полюса – это точки пересечения оси вращения Земли с поверхностью земного эллипсоида.

• Параллель – линия пересечения поверхности земного эллипсоида плоскостью, перпендикулярной оси вращения.

• Экватор – это самая большая параллель, плоскость которой проходит через центр Земли. Линии параллелей и меридианов образуют градусную сеть Земли, а их изображение на картах называют картографической сеткой.

• Полярный круг – параллель с широтой 66°33‘. К северу от экватора расположен Северный полярный круг, к югу – Южный. В день зимнего солнцестояния (21 или 22 декабря) к северу от Северного полярного круга Солнце не всходит (полярная ночь), а к югу от Южного полярного круга Солнце не заходит (полярный день). В день летнего солнцестояния (21 или 22 июня) наоборот. Полярные круги считаются границами холодных поясов Земли.

• Тропики – параллели с широтой 23°27‘ к северу и к югу от экватора. Различают Северный тропик (тропик Рака) и Южный тропик (тропик Козерога). Тропики – крайние от экватора параллели, на которых Солнце бывает в зените: в день летнего солнцестояния над Северным тропиком, в день зимнего солнцестояния – над Южным тропиком. Вся широтная зона, расположенная между Северным и Южным тропиками называется жаркий пояс Земли.

Географические координаты – это пространственная система координат, показывающая положение точки на земной поверхности или карте относительно экватора и нулевого меридиана в градусах широты и долготы.

Географическая широта (φ) - это угол между плоскостью экватора и отвесной линией (нормалью), опущенной из данной точки к плоскости экватора. Широта измеряется в градусах от 0º до 90º и бывает северная и южная. Значения градусов широты параллелей подписываются вдоль нулевого (Гринвичского) и 180º меридианов к северу и к югу от экватора.

Географическая долгота (γ) – это двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Измеряется от 0 до 180º и бывает восточная и западная. Значения градусов долготы меридианов подписываются вдоль линии экватора к востоку и к западу.

Таким образом, математическая основа карт позволяет на листе бумаги в заданном масштабе и картографической проекции нанести узловые точки и линии прохождения параллелей и меридианов. Затем в образовавшиеся трапеции вырисовывают элементы географической основы: береговую линию материков и гидрографию. Далее на контуры материков наносят само картографическое изображение.