Примеры характеристических функций

Случайная величина распределена по биномиальному закону, тогда

, .

Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром , тогда

Случайная величина распределена по показательному закону

с параметром , тогда

Если .

Если – распределение Пирсона с n степенями свободы, то

Пример 1.Пусть принимает значения –1 и 1 с вероятностями каждое, имеет показательное распределение с параметром . Вычислить характеристические функции .

Решение.Характеристическая функция случайной величины , закон распределения вероятностей которой имеет вид

	–1

равна .

Характеристическая функция случайной величины равна

(т.к. то ).

Тогда, используя свойства характеристических функций, получим

где характеристическая функция случайной величины .

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева

Пусть случайная величина имеет конечную дисперсию . Тогда для любого справедливо неравенство Чебышева

или

Теорема Чебышева

Пусть случайные величины независимы, существуют , и , , – некоторая постоянная.

Тогда для любого

В частности, если все имеют одно и то же математическое ожидание и дисперсию , то

Для биномиального распределения

Здесь – вероятность появления события в одном испытании, , – общее число испытаний, – число испытаний, в которых событие произошло.

Пример 1.При изготовлении некоторой детали брак равен 5%. Оценить вероятность того, что при просмотре партии в 2000 штук выявляется отклонение доли бракованных деталей от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение.Воспользуемся формулой .

Здесь , , , .

Тогда .

Пример 2.Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,95, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,1, если .