Погрешности измерений.

Погрешность измерения – это отклонение измеренной величины от истинной.

Погрешность и точность: точность – это характеристика прибора, насколько прибор может «ошибаться». Погрешность – это характеристика измерения, именно то, что измерено в данный момент.

Погрешность должна находиться в диапазоне, меньшем указанной точности.

Пример: измеритель показателя преломления имеет точность ±0,1%. Пусть им измеряют стекло с показателем преломления 1,5. Тогда прибор может показать от 1,4985 до 1,5015.

Погрешности:

- случайные, происходят от случайных факторов: тепловое движение и пр.

- систематические, происходят от неверного выбора методов измерений.

СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерения в технике могут осуществляться в разных условиях. В цехо­вых условиях производится один-три отсчета, а в качестве погрешности ре­зультата измерения указывается номинальная (паспортная) погрешность прибора. Например, если измерение производилось на вертикальном длин-номере ИЗВ-2, то погрешность принимается равной ±(0,001 + L/200 ООО) мм, где L — измеряемая длина, мм.

В случае лабораторных измерений эксперимент проводится более тщатель­но [5-7]. Соблюдаются необходимые условия измерения (температурный ре­жим и т. д.), делается серия отсчетов, затем результаты обрабатываются в со­ответствии с методами математической статистики. Так как математическая статистика рассматривает только случайные величины, то предварительно из результатов измерения следует исключить систематические погрешности.

Допустимые систематические погрешности не должны превышать 0,5 Vt, где Vt — остаточная погрешность, равная разности отдельного отсчета xt и среднего арифметического из всех полученных отсчетов х, т. е. Vt = xt-x.

Исправленные результаты измерения характеризуются тем, что в них исключены систематические ошибки.

При выполнении равноточных измерений, когда ко всем отсчетам следу­ет относиться с одинаковой степенью доверия, разброс случайных погрешно­стей при большом числе отсчетов чаще всего подчиняется закону нормального распределения, так как результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых ока­зывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Функпия ноимального распределения случайных погрешностей имеет вил

Это теоретический случай, когда число отсчетов равно бесконечности. Здесь Р — вероятность появления случайной погрешности, равной 5, где 8 — тео­ретически моделируемое значение отсчета; а8 — среднее квадратическое от­клонение, которое характеризует дисперсию распределения (разброс) резуль­татов измерений.

Дифференциальная функция распределения исправленных результатов измерения имеет вид -*2

где х — результат единичного отсчета.

Оценка истинного значения искомой величины и его точности является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функ­ции распределения на основании выборки. В данном случае выборкой являет­ся ряд отсчетов, полученный в результате измерительных наблюдений.

1.5.

ТОЧЕЧНЫЙ СПОСОБ ОЦЕНКИ

Оценку а* параметра а назовем точечной, если она выражается одним чис­лом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией, и поэтому сама должна представлять собой величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величи­ны, в том числе от самого оцениваемого параметра и от числа опытов п.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров:

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа на­блюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцени­ваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше диспер­сии любой другой оценки данного параметра.

Получаемая в результате многократных наблюдений информация об ис­тинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов наблю­дений состоит из ряда результатов отдельных измерительных наблюдений: Xt; Х2; ...; Хп, где п — число наблюдений.

В качестве оценки истинного значения измеряемой величины естествен­но принять среднее арифметическое х полученных результатов наблюдений, т.е. массива полученных измерительных отсчетов:

Оно считается наиболее вероятным значением искомой величины, если от­сутствуют или исправлены систематические погрешности и отброшены про­махи.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) ряда измерительных отсчетов (наблюдений) при конечном числе отсчетов находят по формуле

Предельная погрешность

Цс = 3S*.

Так как погрешности большие, чем За, маловероятны, то интервал ±Зох считается интервалом практически возможных значений случайных погреш­ностей, и если отсчет имеет остаточную погрешность, превышающую вели­чину ±3с?ж, то он квалифицируется как промах.

Эта оценка характеризует степень концентрации отдельных наблюдений относительно среднего арифметического (разброс результатов); СКО являет­ся характеристикой точности метода и средства измерения.

Точность результата измерения характеризует СКО среднего арифмети­ческого:

Вероятная (доверительная) погрешность также может служить для ха­рактеристики результата измерения: