Угловое ускорение НМС

Так как движение НМС с одной неподвижной точкой может быть представлено в каждый момент времени, как мгновенное вращательное движение с угловой скоростью относительно мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку, а изменяется с течением времени не только по модулю, но и по направлению, то направление углового ускорения не совпадает с направлением (в отличие от вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси и плоскопараллельного движения НМС).

По смыслу векторной производной – угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости в соответствующей точке (рис. 59) (по аналогии с направлением скорости по касательной к годографу радиус-вектора , ).

Рис. 59

Так как

(5.5)

то, взяв производную по времени от проекций угловой скорости на оси неподвижной системы координат (5.3), можно вычислить проекции углового ускорения на неподвижные оси через углы Эйлера. Аналогично можно найти проекции углового ускорения на подвижные оси координат.

Модуль углового ускорения определяется формулой:

(5.6)

Направление углового ускорения можно определить через косинусы углов, которые составляет этот вектор с осями координат.

Скорость точки НМС

Так как в каждый момент времени движение НМС с одной неподвижной точкой представляет собой мгновенное вращательное движение относительно мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку, то, используя векторную формулу Эйлера (3.13), для каждого момента времени можно записать:

. (5.7)

Модуль скорости определяется соотношением:

, (5.8)

где r_В×sina – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения.

Направление скорости определяется правилом векторного произведения:

· (следовательно, скорость перпендикулярна также отрезку );

· скорость направлена так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот от был виден против хода часовой стрелки (рис. 60).

Скорость можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.

Рис. 60

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим:

, (5.9)

где — координаты точки B в неподвижной системе координат, а — единичные орты неподвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на неподвижные оси Оx, Оh, Оz:

(5.10)

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим также:

, (5.11)

где x, y, z – координаты точки B в подвижной системе координат, а – единичные орты подвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на подвижные оси Ох, Оу, Оz:

(5.12)

где х, у, z – величины постоянные, так как положение точки относительно осей Охуz, неизменно связанных с движущейся НМС, с течением времени не изменяется.

Формулы (5.10) и (5.12) называются формулами Эйлера.