Основной закон динамики для частицы идеальной жидкости

<123 4 5 6 7 >

Каждая частица текущей жидкости (газа) испытывает воздействие со стороны окружающих частиц, это воздействие определяется давлением р. Мы уже видели, что изменение давления определяет ускорение движущейся частицы. Исходя из этих представлений, выведем основной закон динамики для частицы жидкости. Предположим, что выделена частица в форме куба объемом dx=dx₁dx₂dx₃, находящаяся в точке r(х₁, х₂, х₃)(рис. 285). На каждую грань кубика действует сила давления. Например, на грань dx₁dx₂снизу действует усилие рdx₁dx₂, а на противоположную грань — усилие

¹) Распределение давления определено по закону Бернулли, который выводится в следующих параграфах.

Рис. 285.

Поэтому вдоль оси 3 на кубик действует сила

Кроме этого, на частицу действует сила тяготения, равная

направленная противоположно оси 3 (здесь g— удельный вес жидкости). Тогда по второму закону динамики:

или

(101.1)

где v₃ — компонента скорости по оси 3.

Вследствие достаточной малости объема dtмы считаем, что плотность r постоянна по всему объему. Также давление р на гранях кубика одинаково во всех точках и одинаковы скорости v.

Аналогичным путем найдем, что в направлении двух других осей

(101.2)

так как сила тяжести направлена вдоль оси 3.

Теперь можно записать три формулы (101.1) и (101.2) в векторном виде. Если е₁,е₂,e₃— единичные векторы по осям координат, то

или

(101.3)

где вектор обозначен символом gradр и называется градиентом ¹) давления р, вектор— ge₃=rg, где g— вектор ускорения тяготения.

Формула (101.3) выражает основной закон гидродинамики для идеальной (без трения) жидкости или газа. В нестационарном потоке все величины r, v, p зависят от места rи времени t. В стационарном — только от места r, поэтому при рассмотрении стационарного течения удобно воспользоваться представлением о трубках

¹) Градиент иногда обозначают с помощью символического вектора , тогда тока: они постоянны, и закон динамики для идеальной жидкости в достаточно тонкой трубке тока можно описать следующим образом. Скорость v=v(s) является функцией только координаты s (координаты вдоль осевой линии трубки). Частица, которая в момент времени t имела координату s, за время dt сдвинется на отрезок ds₁(рис. 286). Скорость частицы в новом положении будет другая, какая-то v₁, которую всегда можно представить так:

Следовательно, разность скоростей частицы в момент времени t и момент времени t+dt дает приращение скорости частицы

Заменив в этом выражении смещение частицы ds₁на v(s)dt, получаем

(101.4)

Ускорение частицы при стационарном течении равно производной вдоль оси трубки тока от половины квадрата скорости потока. Поэтому основное уравнение динамики для частицы идеальной жидкости (101.3) в этом случае можно записать так:

(101.5)

Здесь a— угол между вертикалью и направлением осевой линии трубки тока в данном сечении. Это уравнение справедливо для стационарного течения как несжимаемой жидкости, лишенной вязкости, так и для сжимаемого газа, не обладающего внутренним трением.

Остановимся на определении ускорения частицы dv/dt в общем случае нестационарного течения, когда нам известно поле v (r, t). Мы видели, что ускорение частицы вдоль трубки тока в стационарном течении равной vdv/ds , т. е. определяется изменением скорости вдоль трубки. Но этот же результат можно получить, не прибегая к рассмотрению трубок тока.

В момент t скорость частицы, движущейся через точку r, равна v(r, t), а через отрезок времени dt частица будет находиться в точке r+dr и скорость будет равна v(r+dr, t+dt). Тогда приращение скорости этой частицы

(101.6)

Рис. 286.

иускорение =dv/dt. Разобьем приращение dv на две части: в первой определяется (dv)_t — приращение только вследствие изменения времени, во второй {dv)_r — приращение vвследствие изменения места частицы (на рис. 287 вычерчена еще скорость v(r+dr, t) — скорость, которую имела другая частица, находившаяся в точке r+dr в момент t). Поэтому

(101.7)

где

(101.8)

В стационарном потоке ускорение определяется только (dv)_r, так как (dv)_t= 0, ибо скорость в каждой точке пространства не зависит от времени. В нестационарном потоке, вообще говоря, оба члена отличны от нуля. Первый член

определяется частной производной от v при r= const. Второй член (дифференциал (dv)_r) имеет более сложный вид, он зависит от «производной по направлению», по dr, при t=const, эту производную иногда записывают dv/dr. Вычислять (dv)_r нужно как приращение вектора vпри изменении места на dr в стационарном потоке. Такое приращение в постоянном векторном поле при перемещении на dr мы уже рассматривали, анализируя малые деформации упругого тела (§ 86). Каждая компонента скорости: v₁, v₂, v₃— является функцией трех переменных: х₁, x₂, х₃.Напомним, что v=v₁e₁+ v₂e₂+v₃e₃и r=x₁e₁+х₂е₂+x₃e₃, где е₁, е₂, е₃— орты прямоугольной системы координат. Тогда приращения компонент скорости можно записать так:

(101.9)

и Рассматривая систему (101.9), мы видим, что

ее можно представить в виде произведения тензора U на вектор dr=dx₁e₁+dx₂e₂+dx₃e₃в таком виде:

(101.10)

где

(101.11)

Так как в данном случае идет речь о приращении скорости определенной частицы, которая за время dt сдвинулась из точки rна dr, to dr=vdt. Подставляя это

Рис. 287.

в (101.10), получаем

(101.12)

или ускорение частицы dv/dt, учитывая (101.7) и (101.12), теперь можно записать так:

(101.13)

Это и есть общее выражение для ускорения частицы. Первая часть — частная производная по t, вторая — произведение тензора (101.11) на v. В стационарном потоке dv/dt=0 и

(101.14)

Если скорость, плотность и давление потока зависят только от одной координаты и скорость направлена по этой координате, например, если v₁¹0, v₂=v₃=0

и все производные по х₂и х₃ равны нулю, то dv₁/dt=v₁дv₁/дx₁, как мы видели раньше

в (101.4), где x₁=s и v₁=v. Давление р — также функция только х₁,и поэтому уравнение гидродинамики (101.3), если пренебречь тяготением, в этом случае принимает вид