Строение поверхности Ферми

Мы уже встречались с поверхностью Ферми, как поверхностью постоянной энергии в -пространстве. Поверхность Ферми отделяет незаполненные состояния (орбитали) от заполненных. При абсолютном нуле температур большинство электронных свойств металлов определяется именно формой поверхности Ферми.

Интерпретация поверхности Ферми.Формула Брэгга, определяющая границу зон, имеет вид , откуда следует

. (5.36)

Эта формула удовлетворяется значениями , оканчивающимися в плоскости, нормальной к вектору и проходящими через его середину.

Первая зона Бриллюэна квадратной решетки получается как область, заключенная между взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через середины кратчайших векторов обратной решетки и еще трех векторов, эквивалентных по симметрии (рис. 5.8, а).

Рис. 5.8, а. рис. 5.8, б.

Таким образом, первая зона Бриллюэна (элементарная ячейка Вигнера-Зейтца для обратной решетки) это совокупность точек в -пространстве, которых можно достичь из начальной точки, не пересекая ни одной брэгговской плоскости. Для построения первой зоны Бриллюэна нужны четыре вектора обратной решетки; если постоянная решетки равна , то эти четыре вектора суть .

Вторая зона Бриллюэна строится при помощи вектора и еще трех векторов, эквивалентных по симметрии (рис. 5.8, б). Аналогично строится третья зона. Числа 1, 2, 3 написаны на участках, относящихся к соответствующей по номеру зоне, одновременно эти числа (в порядке возрастания) отвечают векторам обратной решетки , , возрастающей длины. Вторую зону Бриллюэна можно определить так – совокупность точек, которых можно достичь из первой зоны, если пересечь всего одну брэгговскую плоскость. Соответственно (n + 1) зону Бриллюэна можно определить как совокупность точек, лежащих вне (n - 1) зоны, которую можно достичь из n-зоны, пересекая всего лишь одну брэговскую плоскость.

Поверхность Ферми для свободных электронов.Поверхность Ферми для свободных электронов при некоторой произвольной концентрации электронов изображена на рис. 5.9 (случай плоской квадратной решетки).

Рис. 5.9 рис. 5.10, а рис. 5.10, б рис. 5.10, в

Окружность описывает поверхность постоянной энергии для свободных электронов. Ее площадь зависит только от концентрации электронов и не зависит от взаимодействия с решеткой. Форма поверхности зависит от взаимодействия и не будет иметь форму окружности.

Тот факт, что части поверхности Ферми, относящиеся к одной зоне (например, второй) оказываются отдаленными одна от друга, представляется неудобным. Это можно поправить, перейдя к схеме приведенной зоны. Переместив треугольники, помеченные цифрой 2 на вектор обратной решетки, они окажутся внутри первой зоны Бриллюэна (рис. 5.10, б). Части поверхности Ферми из второй зоны теперь соединятся, как показано на рис. 5.11.

Рис.5.11. Изображение трех зон.

Переместив третью зону внутрь квадрата, мы придем к тому, что части поверхности Ферми из третьей зоны еще будут выглядеть разъединенными. Если взглянуть на эту картину с точки зрения периодической зонной схемы (рис. 5.12), поверхность Ферми образует розетку.

Рис. 5.12. Поверхность Ферми Рис. 5.13. Влияние слабого периодического

в третьей зоне Бриллюэна. потенциала на поверхность Ферми (рис. 5.11).

Для перехода от поверхности Ферми для свободных электронов к поверхности для почти свободных электронов необходимо учесть следующие четыре факта:

а) Взаимодействие электрона с периодическим потенциалом кристалла приводит к появлению энергетических щелей на зонных границах.

б) Почти вся поверхность Ферми будет пересекать границы зоны перпендикулярно.

в) Внутрикристаллический потенциал будет особенно сказываться в «острых углах» поверхности Ферми.

г) Полный объем, охватываемый поверхностью Ферми, зависит только от концентрации электронов и не зависит от деталей их взаимодействия с решеткой. Для количественных утверждений необходимы детальные расчеты, но можно ожидать качественно, что поверхности Ферми, относящиеся ко второй и третьей зонам Бриллюэна (рис.5.11), под влиянием слабого внутрикристаллического поля испытают изменения, характер которых можно усмотреть из рис. 5.13.

Приближенное построение поверхностей Ферми, исходя из поверхности для свободных электронов, весьма полезно. Построение поверхности Ферми для свободных электронов легко выполнить, пользуясь процедурой, предложенной Харрисоном (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Построение Харрисона поверхности Ферми для свободных электронов во второй, третьей и четвертой зонах.

Сначала определяются точки обратной решетки, затем радиус сферы для свободных электронов. Этим радиусом проводим окружности с центром в точках обратной решетки. Каждая точка в -пространстве, которая лежит внутри по крайней мере одной из сфер, соответствует занятому состоянию в первой зоне Бриллюэна. Точки, лежащие по меньшей мере в двух сферах, соответствуют занятым состояниям во второй зоне; аналогично для точек, лежащих в трех и более сферах.