Число уровней в зоне

Рассмотрим одномерный (линейный кристалл) с постоянной решетки, равной ; такой кристалл построен из элементарных ячеек длиной . Чтобы подсчитать число возможных состояний введем периодические граничные условия для волновых функций, а именно, длину блока периодичности будем считать равной длине цепочки. Разрешенные значения волнового вектора электрона в первой зоне Бриллюэна принимают значения:

(5.34)

Этот ряд ограничен значением , поскольку служит границей зоны Бриллюэна. Таким образом, полное число значений точно равно - числу элементарных ячеек. Отсюда следует, что каждая элементарная ячейка в каждой энергетической зоне дает точно одно независимое значение . Это утверждение переносится и на случай трех измерений. С учетом того, что каждый электрон может иметь одну из двух спиновых ориентаций, общее число независимых состояний (орбиталей) в каждой энергетической зоне равно 2 .

Если на каждую элементарную ячейку приходится один атом одновалентного элемента, то в энергетической зоне будет занято электронами ровно половина состояний (уровней). Если кристалл состоит из атомов двухвалентного элемента, и каждый атом может отдать два электрона, то зона будет заполнена целиком.

Пусть в элементарной ячейке кристалла Z электронов. Тогда общее число электронов в решетке равно zN. При достаточно низкой температуре они займут первые zN энергетических уровней. Таким образом, число заполненных зон равно .

Если (четное число), то все зоны, содержащие электроны, полностью ими заполнены, энергия Ферми совпадает с верхней границей одной из зон.

Металлы и диэлектрики.Если валентные электроны заполняют целиком одну или более верхних разрешенных зон, то кристалл является диэлектриком. В таком кристалле наложение внешнего электрического поля не приводит к появлению электрического тока. Если целиком заполненная зона отделена от следующей более высокой зоны энергетической щелью, то нет никакого способа непрерывным образом изменить суммарный импульс электронов кристалла. Все разрешенные состояния заняты и наложение поля ничего не может изменить. Ситуация совсем иная, чем в случае свободных электронов (смещение сферы Ферми в электрическом поле).

Другой подход к анализу этой ситуации состоит в использовании уравнения движения:

. (5.35)

Под действием постоянной силы волновой вектор электрона будет непрерывно увеличиваться с течением времени. Но когда , возрастая, достигнет границы зоны, волновой вектор испытает «переброс» (рис.5.5) на противоположную границу.

Это движение будет происходить вновь и вновь, но не приведет к какому-либо результирующему ускорению, в чем можно убедиться, если провести усреднение по всем состояниям зоны.

Любой кристалл может быть диэлектриком при четном числе валентных электронов в элементарной ячейке кристалла.

Если в кристалле число валентных электронов на элементарную ячейку четное, то необходимо отдельно рассматривать случаи перекрывающихся и неперекрывающихся энергетических зон. Если зоны перекрываются, то вместо одной заполненной зоны, характерной для диэлектрика, мы можем иметь две или более частично заполненных зон, приводящих к тому, что кристалл обнаруживает свойства металла (рис. 5.6).

Рис. 5.6, а рис. 5.6, б рис. 5.6, в

В щелочных и благородных металлах на элементарную ячейку приходится один валентный электрон; и поэтому они являются металлами. Редкоземельные металлы имеют по два валентных электрона на элементарную ячейку и могли бы быть диэлектриками, но энергетические зоны у них перекрываются, поэтому они металлы, хотя и не очень хорошие. Кристаллы алмаза, кремния и германия имеют по два четырехвалентных атома на элементарную ячейку. Энергетические зоны в них не перекрываются, и поэтому чистые кристаллы при абсолютном нуле являются диэлектриками.

Наивысшая из заполненных зон при абсолютном нуле называется валентной зоной, наинизшая из незаполненных зон – зоной проводимости. Верхнюю границу валентной зоны принято обозначать через , а нижнюю границу зоны проводимости – через ; ширину запрещенной зоны (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

При лишь немногие электроны получают в результате тепловой флуктуации энергию достаточную для перехода его в зону проводимости (диэлектрики).

При в зоне проводимости появляется заметное число электронов, а в валентной зоне образуются свободные места – дырки.

В проводимости металла участвуют только электроны зоны проводимости, имеющие энергию, близкую к энергии Ферми.

В полупроводниках в проводимости участвуют электроны обеих зон - проводимости и валентной. При наличии малого числа свободных мест в валентной зоне обычно говорят не о движении многих электронов, а о движении свободных мест – дырок и соответственно о дырочной проводимости в валентной зоне наряду с электронной в зоне проводимости. Стремясь занять наинизшее энергетическое состояние, электроны в зоне проводимости полупроводника располагаются вблизи ее дна. Дырки в валентной зоне по той же причине сосредоточиваются вблизи потолка валентной зоны.