Общая схема определения главных касательных напряжений.
При заданных величинах главных нормальных напряжений величины напряжений на наклонной площадке и изменяются при изменении направляющих косинусов нормали к площадке , т.е. при изменении положения наклонной площадки к главным осям. Касательное напряжение на наклонной площадке:
,
.
Выясним, в каких площадках касательные напряжения получают экстремальные значения. Пусть , тогда:
.
Дифференцируем по и приравниваем частную производную нулю, для нахождения экстремума
Преобразуя, имеем
,
или
.
Дифференцируя уравнение для по и приравнивая производную нулю, получим:
.
Решениями последних уравнений является , тогда , которые определяют экстремальные значения .
Далее, приняв , получим и . Подставляя , получим .
Из условия выражаем и , подставляя их в ( ), и производим, аналогичные выкладки. Получаем шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения.
Первые три группы значений направляющих косинусов определяют плоскости, в которых касательные напряжения принимают минимальные значения, равные нулю. Вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений.
Таким образом, имеем три пары площадок, расположенных под углом 45о к главным, в которых касательные напряжения достигают максимальных абсолютных значений.
Подставляя в выражение для определения касательного напряжения значения направляющих косинусов, определим значения максимальных касательных напряжений:
, , .
Эти напряжения называются главными касательными напряжениями.
Нормальные напряжения в этих площадках получаться при подстановке значений направляющих косинусов в выражение для нормального напряжения на наклонной площадке т.е.:
, , .
Площадки, на которых действуют главные касательные напряжения, ещё называют, диагональными.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 128;