Тензор напряжений. Закон парности касательных напряжений.
Выше показано, используя метод сечений и представление материальной точки в виде элементарного параллелепипеда, вектор напряжения имеет либо три вектора разложения, либо девять векторов разложения полного напряжения , рис. 3.3
Рисунок 3.3 - Схема действия напряжений на элементарный объем
Запишем проекции полного напряжения в произвольных координатах в виде таблицы:
- направление
- направление
- направление
X Y Z
Большие буквы X, Y, Z – показывают адреса площадок, нормали которых совпадают с направлениями . Нижние индексы имеют определенное функциональное назначение. Первый индекс показывает направление действия вектора напряжения, второй индекс указывает адрес площадки. Если первый индекс , следовательно, напряжение направлено параллельно оси . Если второй индекс , следовательно, площадка действия напряжения перпендикулярна оси , а ее нормаль параллельна этой оси. Два одинаковых нижних индекса заменяется одним.
Совокупность девяти величин называется тензором второго ранга. В общем случае тензор характеризует вектор в многомерном пространстве. В соответствии с характеристикой вектора он должен быть задан своими проекциями и по величине и по направлению. Величина напряжения характеризуется совокупностью всех проекций и определяется последовательным применением теоремы Пифагора, а направление - направляющими косинусами, или же направляющим тензором. Вектор в трехмерном пространстве представляется тремя составляющими (проекциями) и называется тензором первого ранга. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга. Тензор второго ранга или тензор напряжений:
.
Если элементарный объем находится в равновесии, то следует закон парности касательных напряжений, т.е.:
,
касательные напряжения с одинаковыми нижними индексами равны.
С учетом последних соотношений, тензор напряжений записывается
.
Тензор напряжений полностью характеризует напряженное состояние в точке.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 97;