Октаэдрические напряжения.

Выше были рассмотрены площадки, в которых напряжения и нормальные и касательные принимают экстремальные значения. Это главные и диагональные площадки.

Определим напряжение в площадках, одинаково наклоненных к главным осям. В этом случае . Из соотношения находим положение площадки в пространстве:

, откуда .

Такие площадки образуют фигуру октаэдр. Их называют октаэдрическими, так же напряжения, которые действуют в этих площадках.

Подставляя значение направляющего косинуса в выражение для нормального напряжения , получим нормальное октаэдрическое напряжение:

Касательное октаэдрическое напряжение определяется выражением

.

Откуда:

Через главные касательные напряжения:

Для дальнейшего анализа воспользуемся линейным инвариантом тензора напряжений в главных напряжениях. Возведем его в квадрат:

квадратный инвариант в главных напряжениях:

.

Тогда можно записать . Подставляя инварианты в произвольных координатах, получим:

После преобразований:

Квадратный инвариант:

Можно записать . Октаэдрические касательные напряжения, второй инвариант являются обобщенной характеристикой напряженного состояния точки, т.к. они определяются всеми составляющими тензора напряжений. Вводится в рассмотрение интенсивность касательных напряжений, которая разными авторами представляется либо как октаэдрическое касательное напряжение, либо, как второй инвариант напряжений. В последнем случае:

Интенсивность касательных напряжений отличается от октаэдрического касательного напряжения тем, что есть величина скалярная.

От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщенное напряжение:

Интенсивность напряжений позволяет формально обобщить некоторые соотношения теории упругости и пластичности при объемном и линейном напряженном состояниях. Например , . Обобщенный показатель характеризует напряженное состояние одним числом, как и .