Уравнение Шредингера

Основная задача механики (как классической, так и кванто­вой) состоит в описании движения тела (частиц) в пространстве и — времени, т. е. в том, чтобы по заданным силам, действующим на тело и начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для каждого момента времени координаты - тела и его скорость. Напомним, что в классической механике уравнением движения является уравнение Ньютона, В случае одновременного движения (вдоль координаты х) под действием сил потенциального поля в нерелятивистском случае (при ско­рости движения v << с) оно имеет вид

где m - масса частицы; - ее ускорение; U — потенциальная энергия частицы в силовом поле; — результирующая сила.

По определению квантового состояния уравнение движения квантовой частицы должно задавать изменения во времени вол­новой функции ψ. Такое уравнение впервые было предложено Э.Шредингером в 1926 г, и названо его именем. Обратим внимание на то, что уравнение Шредингера (как и уравнение Ньютона) не выводится, а постулируется. В простом случае, когда ψ-функция не зависит от времени, уравнение называется стационарным и имеет следующий вид:

Здесь Е - полная энергия частицы массой m, движущейся в данном потенциальном поле и обладающей потенциальной энергией U,

- оператор Лапласа (лапласиан).

В общее (или временное) уравнение Шредингера входит также производная dψ/dt, отражающая изменение волновой функции времени.

В теории дифференциальных уравнений доказывается что подобные уравнения имеют решение лишь при определенных - так называемых собственных - значениях энергии Е. Собствен­ные значения энергии могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. Решить уравнение Шредингера - значит наши функцию ψ, задающую» как указывалось выше, вероятность нахождения частицы в момент времени t в некоторой области пространства.