Соотношение неопределенностей

Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц вещества обусловливает важные особенности их поведения и описания.

Рис. 4.5.

Предположим, что на пути строго параллельного пучка каких- либо микрочастиц (природа их здесь не важна) расположен пер­пендикулярно пучку экран с узкой щелью (рис. 4.5), ширина которой d сравнима с сопоставляемой микрочастице дебройлевской длиной волны. Опытным путем, доказано, что при прохож­дении микрочастиц через щель происходит дифракция. Направ­ление на первый дифракционный минимум определяется углом θ. Из теории дифракции (см. разд. 2.7, гл. 2) известно, что sinθ = λ/d. Для малых θ sinθ ≈ 0 и θ ≈ λ/2. Учтя, что λ - h/р, получим θ ≈ h/pd.

Отклонение на угол θ можно трактовать как появление у мик­рочастицы некоего импульса Δр_х в направлении оси X. Ясно, что Δр_х ≈ рθ и Δр_х ≈ h/a. При прохождении щели микрочастица может оказаться в любой точке ее сечения по оси X, следовательно, ширина щели может рассматриваться как неопределенность Ах координаты микрочастицы в момент ее прохождения через щель. Тогда

т.е. пространственное ограничение движения микрочастицы (уменьшение Δх) влечет за собой увеличение ее импульса. Аналогичное соотношение связывает неопределенность энергии ΔЕ микрочастицы в данном состоянии и время Δt ее жизни в этом состоянии:

Соотношение (4.8) и (4.9) называются соотношениями неопределенностей. Они впервые были сформулированы в 1927 г Гейзенбергом. В общем плане смысл соотношений неопределен­ностей состоит в том, что тесные связи между материей, движением, пространством и временем, на которые указала теория относительности, приобретают в микромире принципиальное значение. В частности, выражение (4.8) показывает, что микрообъект в силу его специфики не может одновременно иметь определенную координату и определенную соответствующую проекцию импульса. Следовательно, для микрочастиц неприме­нимо понятие траектории, которая задается точным указанием в каждый момент времени координат и скорости объекта. Соот­ношение (4.8) позволяет оценить возможность применения зако­нов классической механики к микрочастицам. Записав соотно­шение как Δх Δν_х ≈ h/m, делаем вывод: чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, т.е, тем слабее выражены квантовые эффекты.

Рассмотрим, например, пылинку массой m ≈ 10^{-12 кг.}

Точность, с которой можно измерить положение пылинки при визуальном наблюдении (оптическими приборами), ограничена длиной волны видимого света, имеющей порядок десятых долей микрометра, т.е. Δх ≈ λ = 10^{-7 м.}

Тогда неопределенность в значении х-й компоненты скорости пылинки

настолько мала, что она не будет сказываться при любых ско­ростях движения пылинки. Следовательно, данный объект можно рассматривать как классический, имеющий траекторию движения.

Проведем такой же анализ для электрона, движущегося в атоме водорода Δх ≈ 10¹⁰ м, т. е. имеет порядок размера атома.

Тогда

т. е. больше скорости движения электрона по круговой орбите (при радиусе орбиты 0,5 · 10^{-10 м} скорость равна примерно 2,3 · 10⁶ м/с). Безусловно, в данном случае для описания движения электрона должны использоваться положения квантовой ме­ханики.

Соотношение неопределенностей «координата-импульс» поз­воляет объяснить, почему электрон не падает на ядро в атоме. При приближении электрона к ядру значительно уменьшается не­определенность его координаты (с ~10^{-10 м до ~10-14 м). В соот­ветствии с (4.8) это приведет к возрастанию неопределенности импульса электрона и, следовательно, среднего значения импуль­са. При этом пропорционально возрастает скорость электрона, увеличится его энергия, он удалится от ядра.}

Соотношение (4.9) определяет, что разброс значений энергии микрообъекта Δ ~ h/Δt возрастает с уменьшением времени его жизни в данном состоянии. Если состояние является стационар­ным (Δt → ∞)энергии микрообъекта будет точно определена (ΔE → 0).

Таким образом, квантовая механика оперирует теми же вели­чинами, что и классическая: координатами, скоростями, энерги­ями и т. д., но накладывает принципиальные ограничения на воз­можность их одновременного измерения.