Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
,
Эту формулу можно записать в другом виде.
Так как
и ,
то
То есть, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них, умноженному на проекцию другого вектора на первый.
Из последней формулы можно получить формулу для вычисления проекции вектора на вектор:
или
Cвойства скалярного произведения:
1. (переместительное свойство);
2. (распределительно свойство);
3. (сочетательное относительно скалярного множителя);
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е
;
Если , то .
5. Скалярное произведение одноименных орт равно единице, а разноименных равно нулю, т.е.
,
.
6. Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получится его модуль, т.е.
.
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если они образуют угол и их модули равны .
Решение. По определению скалярного произведения (4.17), имеем:
.
Пример 2. Вычислить скалярное произведение векторов и , зная, что и угол между ними равен .
Решение. По свойствам скалярного произведения получим:
.
Пример 3. Найти модуль вектора , если и .
Решение. По свойствам скалярного произведения имеем:
.
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 922;