Векторное произведение векторов

Если с заданием трёх векторов указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то говорят, что задана упорядоченная тройка векторов.

Упорядоченная тройка векторов и называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис.28). В противном случае тройка векторов называется левой.

правая левая

тройка тройка

Рис.28

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый символом или который определяется следующими тремя условиями:

1. Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними:

(4.26)

где угол между векторами и .

2. Вектор = перпендикулярен к каждому из векторов и , т.е. .

3. Вектор направлен таким образом, чтобы смотря в направлении от конца вектора на плоскость векторов и кратчайший поворот от к был виден против хода часовой стрелки.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет свой знак:

2. Векторное произведение подчиняется распределительному закону:

3. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону по отношению к скалярному множителю:

.

4. Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

5. Векторные произведения ортов

,

6. Модуль векторного произведения двух векторов и равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

Из этой формулы имеем:

Данные формулы выражают геометрический смысл векторного произведения векторов.

Пример. Известно, что . Требуется найти: а) б) .

Решение. а) По формуле (4.26) имеем:

.

б) Используя свойства векторного произведения, будем иметь:

Поэтому,

.