ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ КРУГА МОРА

Известным немецким ученым Мором был предложен графический метод определение напряжений σ_α и τ_α при заданных σ₁ ,σ₂и α в случае плоского напряженного состояния.

Рис.18.1. Случай плоского напряженного состояния.

Для этого выбирается плоская система координат, при этом оси абсцисс соответствуют нормальные напряжения, а оси ординат – касательные напряжения

По оси абсцисс откладывают напряжения σ₁=ОА и σ₂=ОВ

На разнице отрезков ОА - ОВ = σ1 - σ2 , радиусом ВС = (σ1 - σ2)/2 строится круг. откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки угол 2α, получаем на круге точку D и опускаем из нее на ось абсцисс перпендикуляр – DK

Полученный отрезок ОК = σ_α, а отрезок DК = τ_α

Круги Мора позволяют анализировать все виды напряженного состояния тела.

Рис.18.2. Графическое определение напряжений. Круг Мора.

Задача.

Определить аналитически и с помощью круга Мора нормальное σα и касательное τα напряжения в сечении АВ, расположенном под углом β=60º к продольной оси. Стержень растягивается силой Р =20кН, площадь его поперечного сечения равна 200*200мм2, α = 90- β

Находим главное напряжение

т.к. рассматривается случай линейного напряженного состояния

Для графического определения напряжений выбираем систему координат σ – τ. По оси σ откладываем в выбранном масштабе напряжение σ₁ в виде отрезка ОМ, который делим пополам, и отрезком очерчиваем круг. Из точки М (полюс круга Мора) проводим прямую параллельную АВ или параллельную нормали к АВ. Получаем точку D пересечения прямой с кругом. Абсцисса ОD1 будет представлять σ_α=37МПа, а ордината DD1 - τ_α=21,5МПа.

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.

При исследовании деформаций в случае объемного напряженного состояния предполагается, что материал подчиняется закону Гука и что деформации малы.

Рассмотрим элемент, размеры граней которого равны а*в*с и по этим граням действуют главные напряжения σ₁ ,σ₂ ,σ_3.

Все напряжения считаем положительными. Вследствие деформации ребра элемента изменяют свою длину и становятся равными а+∆а, в+∆в, с+∆с . Отношения приращений длины ребер элементов к их первоначальной их длине дадут главные относительные удлинения в главных направлениях:

Под действием напряжения σ₁ ребро длиной а получит относительное удлинение

Напряжения σ₂ и σ₃ действуют поперек ребра а, поэтому они будут препятствовать его удлинению. Деформации, вызванные действием σ₂, σ₃ в направлении ребра а будут равны:

Полная относительная деформация элемента а*в*с в направлении ребра а будет равна:

Аналогично можно найти полные относительные деформации элемента а*в*с в направлении ребер в и с:

Эти формулы носят название обобщенного закона Гука.