I. Пути решения прямой и обратной геодезических задач.

Существует два основных способа решения прямой и обратной геодезических задач:

- Прямой, или непосредственный путь.

- Косвенный путь.

Прямой или непосредственный путь заключается в решении сфероидического треугольника АРВ. В этом случае известны две стороны – АР = 90^о- В₁, АВ = s и угол между ними А_1.2 Из решения треугольника непосредственно определяются три остальных элемента, являющиеся искомыми, - ВР =90^о- В₂, т.е широта В₂ ; ÐАВР = (360^о – А_2.1) , т.е обратный азимут А_2.1, и l – разность долгот пунктов А и В, по которой легко вычисляется долгота L₂ = L₁ + l .

При решении обратной геодезической задачи известні следующие три элемента: В₁, В₂, и l . Из решения треугольника находят углы ÐРАВ = А_1.2 , ÐАВР = (360^о – А_2.1) и сторону АВ = s, т.е расстояние между заданными пунктами.

Косвенный путь решения главной геодезической задачи заключается в выводе разностей широт, долгот и азимутов данного и определяемого пунктов – т.е (В₂ – В₁), (L₂ – L₁) и (А_2.1 – А_1.2 ± 180^о), после чего определяемые геодезические координаты получаются из выражений:

В₂ = В₁ + (В₂ – В₁)

L₂ = L₁ + (L₂ – L₁)

А_2.1 = А_1.2 ± 180^о + (А_2.1 – А_1.2 )

Формулы для решения обратной геодезической задачи обычно получаются из формул для решения прямой задачи путём соответствующих математических преобразований.

Порядок решения главной геодезической задачи с применением прямого пути :

1) От сфероидического треугольника АРВ переходят к треугольнику некоторой вспомогательной сферы и устанавливают одновременно аналитическую или геометрическую связь между элементами обоих треугольников.

2) После перехода от эллипсоидального треугольника к сферическому определяют все элементы последнего,

3) Пользуясь теми же законами связи сфероидического и сферического треугольников, осуществляют обратный переход на сфероид, т.е. определяют элементы сфероидического треугольника, являющиеся искомыми, в прямой геодезической задаче:

- широту второго пункта,

- разность долгот обоих пунктов

- обратный азимут.

Во всех случаях прямого пути решения главной геодезической задачи сферическая поверхность используется как промежуточная. Она может быть использована при выводе формул, и в процессе промежуточных вычислений. Решение треугольника на сфере происходит по замкнутым формулам; переход от элементов сфероидического треугольника к сферическому и обратно – по разомкнутым.

При решении геодезических задач на сравнительно малые расстояния целесообразно применять косвенный путь решения задачи и использовать ряды по возрастающим степеням s. При этом упрощения формул и вычислений применяют следующие способы:

1) Формулы, основанные на использовании средней широты и среднего азимута стороны, по которой решается геодезическая задача.

2) Формулы для решения задачи по способу вспомогательной точки. Сущность способа заключается в том, что искомая разность координат определяемой и данной точек вычисляется не непосредственно, а через целесообразно выбранную вспомогательную точку, в результате чего отдельные члены разложения становятся малыми, и их погрешностями можно пренебречь.

3) Метод решения задачи с использованием вспомогательной сферы. В этом способе треугольник АРВ изображается на сфере по определённому закону и по известным данным геодезической задачи. После решения полученного сферического треугольника осуществляется обратный переход со сферы на сфероид, но, в отличии о т прямого пути решения задачи, треугольник на сфере решается по особым формулам, позволяющим находить разности элементов этого треугольника ( а не сами элементы, как при прямом пути решения задачи). Переход со сферы на сфероид осуществляется также путём переноса разностей его элементов, являющимися искомыми разностями широт, долгот и азимутов. В этом состоит принципиальное отличие этого косвенного метода решения задачи от прямого. Данный метод решения главной геодезической задачи целесообразно применять при сравнительно незначительных расстояниях между пунктами.

Несколько отличается метод решения главной геодезической задачи, основанный на замене сфероидических треугольников соответствующими плоскими, образованными из хорд эллипсоида, в результате чего получаются замкнутые формулы, определяющие искомые разности координат и пригодные для решения задачи при любых расстояниях между пунктами.